Решение геометрических задач на построение

Содержание:

1. Ведение-----------------------------------------------------------------------------------2
2. Инструменты для построения -------------------------------------------------------3
3. Методика решения геометрической задачи на построение -------------------5
4. Основные методы решения задач на построение -------------------------------11

4.1 Метод параллельного переноса-------------------------------------------------11

4.2 Метод подобия ---------------------------------------------------------------------12

3. Метод геометрического места точек-------------------------------------------13
4. Алгебраический метод------------------------------------------------------------15
5. Список литературы---------------------------------------------------------------------17 
   Введение

Вся история геометрии  и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием  теории геометрических построений. Древнегреческие  математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для  решения конструктивных задач. При  этом, в соответствии с постулатами  Евклида, они рассматривали линейку  как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они  развивают поисковые навыки решения  практических проблем, приобщают к  посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также  более тщательной обработке умений и навыков. Задачи на построение не допускают формального к ним  подхода, являются качественно новой  ситуацией применения изученных  теорем и, таким образом, дают возможность  осуществлять проблемное повторение.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода  к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических  знаний учащихся по любому разделу  школьного курса геометрии. Решая  геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Инструменты для  построения

Инструменты, употребляемые  для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник – это  вспомогательный инструмент, так  как, имея линейку и циркуль, можно  строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая  шкала, которую можно построить  с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки  и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей.

Задачи на построение с  помощью циркуля и линейки - это  задачи, в которых были очень сильны древнегреческие математики. Линейка  считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью  линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать  отрезки, нельзя также, пользуясь ее краями, проводить параллельные линии. Таким образом, линейку можно  использовать для проведения произвольной прямой, прямой через данную точку, прямой через две данные точки.

С помощью циркуля можно  провести произвольную окружность, можно  провести окружность с данным центром  и данного радиуса. Можно также  на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

Для конструктивной геометрии необходимо располагать  точным и для математических целей  полным описанием того или иного  инструмента. Такое описание даётся в виде аксиом. Эти аксиомы в  абстрактной математической форме  выражают те свойства реальных чертёжных  инструментов, которые используются для геометрических построений.

Наиболее  употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.

Аксиома линейки.

Линейка позволяет выполнить  следующие геометрические построения: 
а) построить отрезок, соединяющий две построенные точки; 
б) построить прямую, проходящую через две построенные точки; 
в) построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

 Аксиома циркуля.

Циркуль позволяет выполнить  следующие геометрические построения: 
а) построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы); 
б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг.

Аксиома двусторонней линейки.

Двусторонняя линейка позволяет: 
а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме линейки; 
б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h — фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки); 
в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка h (ширина линейки), и если AB > h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

Аксиома прямого угла.

Прямой угол позволяет: 
а) выполнить построения, перечисленные в аксиоме линейки; 
б) через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой; 
в) если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой этот отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Методика решения  геометрической задачи на построение

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает  вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения  задачи, чтобы получить все решения  задачи, чтобы выяснить условия возможности  решения задачи и т.п. Поэтому  при решении конструктивных задач  в учебных условиях рекомендуется  пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех  этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

Конечно, эта схема не является, безусловно, необходимой  и неизменной, не всегда удобно и  целесообразно строго разделять  отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная  схема серьезно помогает при решении  конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки».

На вспомогательном чертеже  следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нем указанные в задаче линии.

Если вспомогательный  чертеж не подсказывает непосредственного  способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть  искомой фигуры или вообще некоторую  фигуру, которая может быть построена  и которой затем можно воспользоваться  для построения искомой фигуры. В  более общем случае рассуждение  ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф  сводится к построению некоторой  другой фигуры Ф . Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф , построение которой уже известно.

Полезно учесть следующие  частные замечания, помогающие при  проведении анализа.

1) Если на вспомогательном  чертеже не удается непосредственно  заметить необходимые для решения  связи между данными и искомыми  элементами, то целесообразно ввести  в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки  прямыми, отметить точки пересечения  имеющихся линий, продолжить некоторые  отрезки и т.д. Иногда бывает  полезно проводить параллели  или перпендикуляры к уже имеющимся  прямым.

2) Если по условию задачи  дана сумма или разность отрезков  или углов, то эти величины  следует изобразить на вспомогательном  чертеже, если их еще нет  на нем.

3) В процессе проведения  анализа бывает полезно вспомнить  теоремы и раннее решенные  задачи, в которых встречаются  зависимости между элементами, сходные  с теми, о которых говориться  в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на  основании изучения некоторого  чертежа – наброска, мы невольно  связываем свои рассуждения в  известной мере с этим чертежом.

Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник – как неправильный и т.п. Чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого  его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся  к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник АВС. Для построения искомой окружности нужно последовательно построить

1. биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника;
2. точку их пересечения О;
3. прямую, проходящую через точку О, перпендикулярно прямой АВ;
4. основание М проведенного перпендикуляра;
5. окружность (О, ОМ).

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная  нами окружность (О, ОМ) действительно  коснётся всех сторон треугольника АВС. Для этого, прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой  окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ.

Вместе с этим ясно, что  радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного  треугольника АВС. Далее замечаем, что  центр окружности О одинаково  удалён от всех сторон треугольника, так  как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или от стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров расположатся на той же окружности.

Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем  на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной  окружности.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг  построения действительно может  быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1. всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
2. можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;
3. сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.