Повороты системы координат на плоскости

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Чувашский  государственный университет имени  И.Н. Ульянова»

 

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

 
Кафедра высшей математики

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

на тему:

 

ПОВОРОТы СИСТЕМЫ КООРДИНАТ на плоскости

 

 

 

 

 

Выполнил: студент  гр. РTЭ 31-12

Дудусов А.А.

 

Проверил: профессор  Качевский Д.Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        Чебоксары – 2012

 

 

 

Содержание:

• Введение
• Глава I. Геометрические преобразования двухмерных
• Глава II. Поворот системы координат произвольный угол a
• Заключение
• Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В данной курсовой работе рассмотрена  тема “ Повороты системы координат на плоскости”

”. Работа состоит из теоретической и практической частей.

 В  теоретической части курсовой  работы представлены две главы.  В первой главе описаны геометрические  преобразования двухмерных.

Следующая глава раскрывает поворот системы координат на произвольный угол a .

 Практическая  часть курсовой работы содержит  несколько примеров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Геометрические преобразования двухмерных

Рассмотрим  элементарные геометрические преобразования двухмерных, применяемые в машинной графике. Эти преобразования основаны на матричных операциях.

Рассмотрим  преобразования на плоскости - перенос, масштабирование, поворот.

Точку на плоскости можно перенести в  новые позиции путем добавления к координатам этих точек констант переноса.

х' = х + Dx        у' = у + Dy

Определяем  векторы строки

Р=[х,у]    Р'=[х',у']      T=[Dx,Dy]

Сдвиг точки  в векторной форме

[x',y']=[x,y]+[Dx,Dy]

Или более  кратко                           Р' =Р+Т

Объект  можно перенести, применяя это выражение  к каждой точке объекта. Однако для  отрезка достаточно применить этот процесс только к его концевым точкам. Это справедливо и для  масштабирования и для поворота.

Масштабирование

Для масштабирования  объекта каждую точку необходимо растянуть в S_x раз по оси х и в S_y раз по оси у.

х' = х ^. S_x        у' = у ^. S_y

Определяя

S=	| Sx 0 | | 0 Sy |

или P'=P ^. S

Отметим, что масштабирование производится относительно начала координат.

Масштабирование относительно других точек рассмотрим ниже.

Если  S_x != S_y неоднородное масштабирование.

Если  S_x = S_y однородное масштабирование.

Поворот

Положительным считаются углы, измеряемые против движения часовой стрелки от X к Y.

В случае отрицательных углов можно воспользоваться  тождествами

cos(-θ)= cos(θ) 
sin(-θ)=-sin(θ)

Поворот производится относительно начала координат

 

 

 

 

 

 

 

Однородные координаты

Преобразования  переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются как

P' = P + T 
P' = P ^. S 
P' = P ^. R

К сожалению, перенос в отличие от других реализуется  с помощью сложения. Хотелось бы преобразования представить в такой форме, чтобы все эти элементарные преобразования можно было бы представить в одной форме - в виде произведений матриц. Тогда удастся совместить все три вида преобразований в виде умножения на одну результирующую матрицу геометрических преобразований.

Это можно  сделать, представив точки в однородных координатах. Однородные координаты были введены в геометрии.

Точка Р(х,у) записывается как P(Wx,Wy,W)   для любого масштабного множителя W не равного нулю.  Переход от однородных к декартовым координатам   x=X/W y=Y/W.

Матричное представление  двумерных преобразований

Уравнение переноса

Пользуясь однородными координатами можно  записать в виде однотипных матричных  выражений все три вида преобразований.

                         |1  0  0 |

         [x'y'1]=[x,y,1] |0  1  0 |

                         |Dx Dy 1 |

ил  Р' =Р ^. Т(Dx ,Dy )

Если  перенести точку на (Dx1,Dy1), а затем на (Dx2,Dy2), то последовательным применением преобразования переноса суммарный перенос запишется в виде матрицы

 

          |   1        0     0 |

          |   0        1     0 |

          |Dx1+Dx2  Dy1+Dy2  1 |

 

 

 

Уравнение масштабирования

                      |S_x  0  0 |

       [x'y'1]=[x,y,1]|0   S_y 0 |

                      |0   0  1 |

или P' = P ^. S(S_x ,S_y)

Последовательные масштабирования приводят к матрице

          |S_x1S_x2   0    0 |

          |  0    S_y1S_y2 0 |

          |  0      0   1 |

Уравнение поворота

                      | cosθ sinθ 0 |

       [x'y'1]=[x,y,1]|-sinθ cosθ 0 |

                      |  0    0   1 |

или P' = P ^. R(θ)

Композиция двумерных  преобразований

Более эффективно к точке применить одно совмещенное  преобразование (одно умножение на матрицу), чем ряд преобразований друг за другом.

Рассмотрим, например, поворот объекта относительно некоторой произвольной точки P(x1,y1). Для этого необходимо выполнить 3 элементарных преобразования:

1. Перенос, при котором точка P(x1,y1) помещается в начало координат;
2. Поворот;
3. Перенос в первоначальное положение.

Результирующее  преобразование имеет вид:

       | 1  0  0|| cosθ sinθ 0 ||1  0  0|

       | 0  1  0||-sinθ cosθ 0 ||0  1  0| =

       |-x1-y1 1||  0    0   1 ||x1 y1 1|

 

   |      cosθ                   sinθ      0 |

=  |     -sinθ                   cosθ      0 |

   |x1(1-cosθ)+y1 sinθ  y1(1-cosθ)+x1 sinθ 1 |

 

 

Используя аналогичный подход, можно промасштабировать объект относительно произвольной точки:

1. Перенос в начало координат;
2. Масштабирование;
3. Перенос в первоначальное положение.

Подобным  образом можно делать более сложные  операции: например - необходимо промасштабировать, повернуть и расположить в заданном месте домик.

Вопросы эффективности

Композиция  наиболее общего вида из операций R, S и Т имеет вид

              |r11 r12 0 |

              |r21 r22 0 |

              |tx  ty  1 |

Верхняя часть матрицы М размером 2х2 является объединением матрицы поворота и масштабирования, в то время как t_x и t_y описывают суммарный перенос.

Для вычисления произведения двух матриц размером 3х3 требуется 9 операций умножения и 6 операций сложения. Однако, структура последнего столбца позволяет упростить выполняющиеся действия:

x' =x ^. r₁₁ + y ^. r₂₁ + t_x 
y' =x ^. r₁₂ + y ^. r₂₂ + t_y

Это существенно  упрощает процесс, поскольку остается 4 операции умножения и 4 операции сложения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Поворот системы координат на произвольный угол a

 

Под поворотом  осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O₁x₁y₁ получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть   Μ  произвольная   точка   плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим  полюсом О и полярными осями Ох и Οx₁ (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому

Полученные формулы  называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O₁x₁y₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы   

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.

 

 

 

 

 

 

 

                                          Заключение:

     Данная курсовая работа раскрывает тему о поворотах системы координат на плоскости. Ее можно использовать как учебное пособие по приведенной теме. А практическая часть работы, представленная несколькими примерами, может служить примером решения типичных задач.

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
2. Бугров А.С. Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.
3. Глухов М. М. Алгебра и аналитическая геометрия: Курс лекций. – М.: 1986.
4. Рублев А. Я. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Высшая школа, 1972.
5. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – Изд-во МГУ, 1969.
6. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.
7. Мусхешвили Н.И. Курс аналитической геометрии. – С-П, 2002.
8. Ефимов А.В., Демидова Б.П. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. – М.: Наука, 1981.
9. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Наук, 1966.
10. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1999.

 

 

 

 

 

Приложение:

 

Дан треугольник  , вершины которого имеют следующие координаты:  ,  ,  . Выполнить преобразование   

 

Пример 1 

отражение относительно оси ординат   ( ).

 

,

. 

 

Таким образом, после преобразования координаты точек будут следующими:  ,  ,  .

 

Ниже с теми же исходными данными  аналогично представлены следующие  преобразования: 

 

Пример 2

 – отражение относительно оси  абсцисс ( );

.

 

Пример 3

 – отражение относительно точки  ;

.

 

 

 

Пример 4

 – отражение относительно прямой  ;

 

Пример 5

 

 – поворот вокруг точки   на угол  ;

 

 

.

Пример 6

 – поворот точек – вершин треугольника    на угол 60^о вокруг точки  . 

 

Преобразование осуществляем за три  действия:

1) переход к новой системе  координат   с центром в точке  :  ,  . Тогда координаты  ,   точек   относительно новой системы координат   будут следующими:  ,  ,  .

2) осуществление преобразования   (поворот на угол 60^о вокруг точки  ):

3) переход к старой системе  координат  :  ,   

 

 

 

 

Пример 7

 

Т₇ – масштабирование, или сжатие (растяжение) к точке с коэффициентами сжатия (растяжения) вдоль осей координат   и  :

.

 – пропорциональное растяжение (гомотетия  с центром в начале координат); в данном случае  ; для примера рассмотрим  , поэтому это будет прямая гомотетия (так как  ) и осуществляется равномерное растяжение (так как  ):

=

.

– непропорциональное масштабирование (можно рассматривать как композицию, т.е. произведение нескольких преобразований); при   и   матрица преобразования имеет вид: