Построение математической модели вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x*x/4, y=x, x=2 методом Монте-Карло и с помощью интегр

                                          Федеральное агентство по образованию

 

 

                            ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

                    СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

 

                                 Образовательный центр “Школьный университет”

 

 

               

 

                                                              ПРОЕКТ

 

        

 

    “Вычисление площади геометрической фигуры методом Монте-Карло”

 

   

 

      Тема проекта: ”Построение математической модели вычисления площади фигуры,            ограниченной линиями y=x*x/4, y=x, x=2 методом Монте-Карло и с помощью    интеграла”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                        Выполнила: ученица 11 класса

                                                                                        Школы № 25

                                                                                        Ирина Михайловна Бредихина

 

 

 

                                                                                        Руководитель проекта:

                                                                                        Преподаватель школы № 25

                                                                                        Нина Васильевна Турганова

 

 

 

 

 

 

 

                                                             Томск 2004

 

 

                                        

                                 Федеральное агентство по образованию

 

 

                       ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

           СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

 

                                 Образовательный центр “Школьный университет”

 

 

 

 

                                                                                        Профильный класс школы № 25

 

                                                                                        УТВЕРЖДАЮ:______________

                                                                                                                                                                                    (Подпись, дата)

                                                                                        Преподаватель Турганова Н.В.

 

 

 

                                                          ЗАДАНИЕ

 

                                           на выполнение проектной работы:

 

    “Вычисление площади геометрической фигуры методом Монте-Карло”

 

 

 

    учащейся 11 “В” класса школы № 25 Бредихиной Ирине Михайловне

 

 

 

 

               

      Тема проекта: ”Построение математической модели вычисления площади фигуры,            ограниченной линиями y=x*x/4, y=x, x=2 методом Монте-Карло и с помощью    интеграла”

 

 

 

 

 

 

 

 

Сроки сдачи проекта:

1. разработка модели                              “__”________  _____г.   ________
2. разработка электронной версии        “__”________  _____г.   ________
3. подготовка пояснительной записки   “__”________  _____г.   ________
4. защита проекта                                     “__”________  _____г.   ________

 

Аннотация

Модель, построенная в среде визуального программирования Delphi, позволяет вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x*x / 4 , y = x , x = 2 методом Монте-Карло и с помощью интеграла, а также сравнивать результаты, полученные выше описанными способами (определить погрешность в вычислении площади фигуры методом Монте-Карло). Данная модель может оказаться полезной для тех, кто желает вычислить площадь сложной геометрической фигуры с точностью, достаточной для практики (то есть в тех случаях, когда нет строго определенных формул и способов для нахождения площадей фигур, например, как в представленном случае). Также пользоваться этой моделью могут те люди, которые просто хотят изучить численный метод Монте-Карло, напрямую связанный с генерированием последовательностей случайных чисел, проследить каким образом генерация и число испытаний  влияют на результаты вычислений.

 

Содержание

 

Введение...……………………………………………………………………1

   Инструмент исследования…………………………………………………1

   Описание  задачи…………………………………………………………....1

   Учебные  задачи……………………………………………………………..1

   Цели  моделирования……………………………………………………….1

Содержательная часть пояснительной записки………………………...2

   Математическая модель…………………………………………………....2

   Завершение  идеализации модели…………………………………….........2

   Компьютерная  модель……………………………………………………...3

  Компьютерный эксперимент № 1………………………………………....6

Анализ результатов исследования

Проверка результатов на соответствие  целям

   Компьютерный  эксперимент № 2……………………………………........7

          Анализ результатов исследования

Проверка результатов на соответствие  целям

Заключение…………………………………………………………………...8

Список литературы и других информационных источников…………9

Приложения………………………………………………………………….10

 

Инструмент исследования

Среда визуального программирования Delphi.

Описание задачи

          (вычисление площади сложной геометрической фигуры)

Вычислить методом Монте-Карло площадь геометрической фигуры, ограниченной линиями y = x*x / 4 , y = x , x = 2, вписанной в квадрат  со стороной 2 (следует из построения чертежа), причем координаты левого нижнего угла квадрата совпадают с началом координат (т.е. его координаты (0;0)).

 

 

 

Цели моделирования

• Изучить работу функций генерации случайных чисел в Delphi.
• Вычислить площадь геометрической фигуры методом Монте-Карло.

 

 

 

Учебные задачи

1. Смоделировать последовательность случайных чисел в Delphi;
2. Изучить численный метод – метод Монте-Карло;
3. Создать компьютерную модель, позволяющую вычислять площадь          геометрической фигуры методом Монте-Карло;
4. Исследовать, как точность вычислений зависит от числа испытаний;
5. Оформить построенную компьютерную модель согласно правилам описания компьютерной модели, реализованной в Delphi.

 

 

Содержательная часть пояснительной записки

Математическая модель

Последовательность чисел, значения которых определяются в зависимости от случая, называются последовательностью случайных чисел.

Последовательности случайных чисел моделируются в различных программных продуктах. Так, в Excel случайное число в диапазоне от 0 до 1 генерируется функцией СЛЧИС ( ), а в Delphi – функцией Random.

Метод Монте-Карло – метод решения различных задач с помощью последовательностей случайных чисел. Чаще всего его применяют при приближенном вычислении площадей геометрических фигур, объемов тел с точностью, достаточной для практики, при вычислении значения числа ПИ, при решении систем уравнений.

Метод Монте-Карло заключается в следующем. Предположим у нас есть геометрическая фигура сложной формы, площадь которой необходимо вычислить. Пусть площадь нашей фигуры S1. Впишем эту фигуру в простую геометрическую фигуру, площадь которой вычисляется легко, например, в прямоугольник или квадрат. В нашем случае это будет квадрат, площадь которого S2.

Представим, что площадь квадрата и нашей фигуры покрываются слоем снега, как во время снегопада. В этом случае число снежинок М, которые упали в контур фигуры S1, и число снежинок N, которые упали в контур квадрата, пропорциональны (считаем, что толщина снежного покрова одинакова). Тогда можно записать пропорцию: S1 / S2 = M / N. из этой формулы легко получить S1 = S2*M / N. Если количество “снежинок “ M и N заменить точками, полученными с помощью генератора случайных чисел, то можно решать различные задачи с помощью метода Монте-Карло.

         Завершение идеализации модели

Изобразим условия задачи графически. На рисунке 1 показана геометрическая фигура, ограниченная линиями и квадрат, в котором лежит эта фигура. Таким образом, условия задачи похожи на задачу из лабораторной работы № 10; только место круга по условию задачи известно, что геометрическая фигура получена пересечением графиков следующих функций: y = x*x / 4 , y = x , x = 2. Кроме того, как видно из построения (из чертежа), фигура  помещена в квадрат со стороной 2 и с началом координат в левом нижнем углу. Таким образом, площадь квадрата (S2) будет равна 4. А площадь сложной геометрической фигуры S1 будет определяться по формуле (по методу Монте-Карло): S1 = S2*M / N = 4*M / N.

        M - число точек, случайным образом попавших в закрашенную фигуру.

        N - число точек, случайным образом попавших в квадрат (число испытаний).

Случайный выбор точек должен производиться так, чтобы точка попала в квадрат (следует из выше описанной формулы), т.е. координаты точки (x,y) должны удовлетворять условию: 0<x<2; 0<y<2.

                   Иначе площадь геометрической фигуры можно найти через интеграл:

S = ƒ (x-x*x/4) dx =x*x/2/ - x*x*x/12/=4/3=1.33

          (Площадь рассматриваемой геометрической фигуры, найденная через интеграл, будет обозначаться просто S).

 

Компьютерная модель

Чтобы построить компьютерную модель, реализующую поставленную задачу, используем подобную компьютерную модель из лабораторной работы № 10 (внесём изменения в интерфейс модели: удалим метку и текстовое поле “радиус”, добавим метку “Площадь фигуры, вычисленная с помощью интеграла, S=1,33” и “S1-S=” (с помощью последней метки будем сравнивать S и S1, т.е. будем определять абсолютную погрешность вычисления площади фигуры вероятностным методом); изменим код программы в строке, где подсчитывается, сколько точек попало в закрашенную фигуру (смотреть комментарии в программе)).

Так как данная модель создавалась в среде визуального программирования Delphi, то и решение задачи производилось на языке Паскаль.

Первоначально необходимо было составить блок-схему вычисления площади геометрической фигуры методом Монте-Карло (рисунок 2, см. Приложение А).

         Затем был создан интерфейс компьютерной модели, которая вычисляет площадь геометрической фигуры методом Монте-Карло и отображает случайное распределение точек в квадрате и в самой фигуре (примерный вид интерфейса показан на рисунке  3 (см. Приложение Б), используемые компоненты описаны в таблице 1).  

 

Название компонента	Характерные свойства
LabelN	Caption = "Всего точек в квадрате, N=”
LabelS1	Caption = "Площадь фигуры, S1= "
Labelintegral	Caption = "Площадь фигуры, вычисленная с помощью интеграла, S=1,33"
LabelRaznost	Caption = "S1-S="
Edit1	Text = 10000
Button1	Caption = “Вычислить”

 

Табл.1

Ну и, наконец, был введён код программы, реализующей решение поставленной задачи:

 

Unit Unit1;

 

Interface

 

Uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls;

 

Type

  TForm1 = class (TForm)

    LabelN: TLabel;

    Button1: TButton;

    Edit2: TEdit;

    Image1: TImage;

    LabelS1: TLabel;

    Labelintegral: TLabel;

    LabelRaznost: TLabel;

    procedure Button1Click (Sender: TObject);

 

  private

    {Private declarations}

  public

    {Public declarations}

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

 

  N: integer; // количество точек в  квадрате

  M: integer;  // счетчик количества  точек, попавших в круг

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

// кнопка Вычислить

procedure TForm1.Button1Click (Sender: TObject);

var

  X, Y: real;

  i: integer;

begin

// задаем начальные данные

N:= StrToInt(Edit2.Text);

 

  M:= 0;

 

// генерируем случайным образом  точки и отображаем их

  Randomize;

 

  For i: =1 to N do

  begin

    X: = Random (100)/100;

    Y: = Random (100)/100;

// считаем, сколько точек попало в фигуру

    if ((x<2) and (x>0)) AND ((y>x*x/4) and (y<x))

     then M := M+1;

  end;

 

  LabelS1.Caption := 'Площадь фигуры, S1 = '+ FloatToStr(4*M/N);

  LabelRaznost.Caption := 'S1-S=' + FloatToStr(abs(1.33- 4*M/N));

 

end;

 

end.

 

Компьютерный эксперимент № 1

(Как точность вычисления площади фигуры зависит от числа испытаний N).

 

Вычислим площадь фигуры при N = 100, N = 1000, N = 10000, N = 100000,                                N = 1000000.Результаты вычислений занесем в таблицу (табл.2)

 

N	S1	S1 - S
100	1,52	0,19
1000	1,568	0,238
10000	1,6412	0,3112
100000	1,63164	0,30164
1000000	1,63338	0,30338