Математические модели

Математические модели – мощнейший инструмент описания и исследования. Эти модели применяются в самых разных науках и дисциплинах, причем они считаются настолько важными, что их наличие – признак серьезности и доказательности научных теорий.

Общий принцип построения математической модели – выделить характеристики и связать их между собой математическим соотношением, позволяющим исследовать  полученную модель математическими  методами. Исследуя эти соотношения, мы получаем возможность найти необходимые  характеристики.

Простейшая модель –  численность популяции.

Цель модели – прогнозирование численности (или общей массы) живых организмов.

Основные процессы, от которых численность зависит:

1. Рождаемость. Количество рождающихся организмов напрямую зависит от количества уже живущих.
2. Смертность. Сюда входят и смертность от старости, и от голода, и от хищников.

Моделей для предсказания численности  животных было создано много. Самая  первая – это модель Фибоначчи (размножение  кроликов, в которой общая численность – это два текущих поколения). А также модель Мальтуса (неограниченного экспоненциального роста), модель Ферхюльста (рост, ограниченный ресурсами) и, наконец, предложенная в начале 20-го века - модель Вольтера-Лотки.

При решении  задачи оценки численности нельзя учитывать  только сам вид и наличие пищи. Численность вида зависит от многих факторов, в частности, от количества хищников. То есть необходимо учесть взаимодействие с другими видами.

Попытки принимать  массовые решения без учета взаимодействий в экологических системах неоднократно приводили к скверным последствиям.

Первой известной  моделью такого рода стала модель Вольтера-Лотки. Основным отличием этой модели от всех остальных стала идея рассматривать не просто рост численности одного вида, а связать его еще и с численностью тех, кто его ест. Таким образом, от рассмотрения одного объекта – популяции, перешли к рассмотрению системы – двух взаимодействующих видов. Условно эту модель можно назвать «Хищник-жертва», при этом и хищники и жертвы могут быть очень разными: щуки и караси, кролики и лисы, люди и болезни.

Запишем в дискретной форме систему уравнений Лотки-Вольтерра:

N_i+1=N_i +α N_i(1-₎

M_i+1=M_i - β M_i(₎

Здесь N - популяция жертв, M - популяция хищников, -

максимальное количество хищников, которое способна прокормить

популяция жертв, - минимальная численность жертв необходимая для

существования популяции хищников, α и β - коэффициенты прироста

популяций.

На что стоит обратить внимание:

1. Процесс – циклический. То есть сначала вырастает количество жертв, потом (откормившись) вырастают хищники и начинают слишком много съедать, жертвы кончаются и хищники начинают вымирать.

Должен  быть рисунок.

2. Эта модель может дать качественную оценку процесса, но для реального точного прогнозирования, к сожалению, не подойдет. Как минимум потому, что ограничение роста численности жертв не предусмотрено, чего в реальности не бывает. Реальные системы подвержены множеству внешних факторов.
3. В этой модели мы не можем увидеть, где и как происходят «вспышки» численности и никак не учитываем накопление опыта внутри популяций ни жертвами, ни хищниками.
4. Мы не учитываем наличия критических  значений параметров, при которых популяция больше не восстановится (а это какое-то количество больше 0, если речь идет о биомассе, или 2 – если речь идет о численности двуполых животных).

Предложенная модель – динамическая, то есть она рассматривает процесс, развивающийся во времени. При этом поведение всей системы задано начальным состоянием и на всем промежутке времени больше ни от чего не зависит – на фазовом портрете это хорошо видно. Такие системы называются динамическими системами.

Возможно, что  в системе есть особые значения параметров, меняющие структуру системы. Формально (численно), изменения очень небольшие, но модель по разные стороны от этого  значения ведет себя совершенно по-разному. В зависимости от того, какое значение получит параметр система станет развиваться одним или другим образом.

Такое значение параметра называется точкой бифуркации, а такая система – структурно неустойчивой. Если система на такое малое изменение в ее структуре не «реагирует» так резко, то она структурно устойчива.

Рассмотренная нами модель Вольтера-Лотки структурно-неустойчива. То есть, если к описывающим ее уравнениям добавятся небольшие колебания (например, конкуренция карасей за еду, а щук – за карасей), то модель перестанет быть предсказуемой (то есть перестанет возвращаться к исходному состоянию за предсказуемое время). В зависимости от вида поправок-добавлений, система может либо постепенно «развалиться», либо стабилизироваться на какой-то одной паре значений, либо все-таки сойтись к какому-то циклу.

Резкое изменение поведения  системы при изменении параметров называется катастрофой. Разработка математических методов исследования динамических систем позволяет определить, устойчива ли модель (и вся система в целом) к изменениям параметров и можно ли такие «малые» изменения игнорировать или они впоследствии изменят всю картину происходящего.