Построение математической модели

          Введение

 

Научно-техническая революция  конца XIX – начала XX века дала толчок развитию новых отраслей производства, новых технологий. Появившиеся высокоскоростные средства передачи различной информации и уровень научно-технического прогресса утопили мир в море информации.

Ни одна из современных  наук не может обойтись без ЭВМ. Многие научные открытия стали возможны лишь благодаря использованию вычислительной техники. Кроме того, создание и развитие гибких автоматизированных производств в свою очередь способствует ускорению научно-технического прогресса, так как все практические достижения науки и техники внедряются в производство с максимальной скоростью.

Моделируя работу изучаемого объекта или явления на ЭВМ, ученые делают выводы о том, какие результаты были бы получены в ходе математического, физического, химического, биологического, социального или другого эксперимента.

На современном этапе  развития общества ЭВМ применяются  в различных сферах человеческой деятельности. Компьютеры призваны по возможности освободить человека от тяжелой и монотонной работы. Во многих исследованиях (особенно в части естественных наук) ЭВМ выполняет большой объём вычислительных работ.   

Выполнение курсовой работы по курсу «Математическое  моделирование физических процессов» является важным этапом при подготовке квалифицированных специалистов и может рассматриваться как подготовительный этап к изучению ряда специальных дисциплин на последующих курсах.

Целью курсовой работы является практическое освоение вопросов теории моделирования, методов построения математических моделей и формирования объектов математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Анализ объекта моделирования

 

Выделим входные ( ) и выходные ( ) параметры объекта, внутренние параметры ( ) и параметры, характеризующие воздействия внешней среды ( ) (рисунок 1.1). Входным параметром (X) для исследуемой модели будет температура T; характеризующие воздействия внешней среды (V) – влажность Р. Выходным параметром (Y) является сопротивление R.

 

 

Рисунок 1.1 - Моделируемый объект

 

Таблица 1.1-Значения входных  и выходных параметров

 

N	T, C	P,кПа	R,Ом
1	2	3	4
1	7.3	54.2	120.2
2	4.6	25	36.4
3	11	52.7	297.1
4	13.1	63.7	447.9
5	10.3	55.6	259.4
6	6	49.6	93.6
7	10.7	66.3	306.4
8	7.5	46.8	140.2
9	10.2	29.2	257
10	7	59.5	108.8
11	9	34.2	190.9
12	9.1	49.1	215.4
13	7.8	47.6	147.6
14	12.6	41.1	432.5
15	10.8	55.7	287.6
16	12.4	49.4	418.2
17	10.2	65.6	265.5
18	9.1	56.2	189.2
19	7.3	60.9	133.9

          

                                                

              Продолжение таблицы 1.1

 

1	2	3	4
20	11.5	61.7	352.2
21	8.7	49.8	171
22	10.6	34.2	280.1
23	9.8	55.7	229
24	10.2	54.5	289
25	9.7	35.6	236.3

         

2 Построение математической  модели

 

2.1 Построение модели на основе пассивного эксперимента

 

Исходными данными для  построения модели на основе пассивного эксперимента являются массивы значений факторов T, Р и массив значений выходного параметра R , которые представляют собой выборки случайных величин. Все выборки должны принадлежать нормальному распределению, быть независимыми и некоррелироваными.

Проверим принадлежность выборок нормальному распределению. Обработка данных производится по следующей схеме. Для этого в начале производят группирование данных массивов. Вся область изменения выборки разбивается на k частей:

k = целая часть (1+3,2·lg(N)),   (2.1)

                                    k = целая часть (1+3,2·lg(25))=5,   

где N – объем выборки.

Далее определяют длину интервала:

.    (2.2)

Для температуры:       

 

Для давления:             

 

Для  сопротивления:  

 

 

Строится массив относительных  частот

,     (2.3)

где j – номер интервала группировки;

n_j – количество элементов выборки, значения которых попадают в j-й интервал.

Полученный массив относительных  частот используется для построения гистограммы частот и статистических оценок моментов распределения:

                                             

;        (2.4)

;    (2.5)

;    (2.6)

.    (2.7)

;    (2.8)

.     (2.9)

Коэффициенты β₁ и β₂ необходимы для определения близости эмпирического распределения нормальному по номограмме (рисунок 2.2)/1/.

Результаты расчетов оформим в виде таблицы 2.1.

 

Таблица 2.1 – Результат расчетов

 

	T	P	R
k	5	5	5
∆x	1,7	8,26	82,3
	0,08	0,08	0,08
	0,20	0,12	0,32
	0,24	0,28	0,40
	0,28	0,32	0,08
	0,20	0,20	0,12
	9,46	50,16	236,22
S	1,98	10,89	101,51
	-3,54	-891,44	378660,62
	37,96	36399,91	271877328,07
	0,205287	0,475751	0,131074528
	2,445626	2,585603	2,560855094

 

Определив соответствующие положения точек на номограмме, отмечаем, что они приближенно относятся к нормальному закону, но будем считать их принадлежность к нормальному рапределению по причине малого объема выборок.

Так как выборки принадлежат нормальному рапределению осуществляем корреляционный анализ результатов статистических испытаний.

 

Рассчитываются коэффициенты парной корреляции/2/:

 

                             (2.10)

 

где x_iu, x_ju - значения переменных x_i и x_j в u-м опыте;

x_i, x_j - выборочные средние переменных;

  S_xi, S_xj - среднеквадратичные отклонения.

Коэффициент корреляции,	Значение
Температурой и давлением	0,276268
Температурой и сопротивлением	1,081783
Давлением и сопротивлением	0,259044

Таблица 2.2 - Значения  коэффициента корреляции.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Из таблицы следует, что только один фактор будет учитываться в модели: влиянии температуры на сопротивление, т.к. коэффициент корреляции этих двух  параметров близки к 1. Остальные коэффициенты отбрасываем по причине отсутствия статистически значимой связи, т.е. значения приближены к нулю.

Определив число факторов, учитываемых в модели, составляем уравнение регрессии. Так как фактор только один, то исследуется три вида моделей:

-линейная :                             y = b₀ + b₁x;

-параболическая :                    y = b₀ + b₁x₁ + b₂ ;

 

-нелинейная :                          

 

 

Для определения коэффициентов  регрессии составляем матрицу Фишера, содержащую сочетания базисных функций. Для линейной однофакторной модели вектор базисных функций имеет вид

;

Для параболической однофакторной  модели вектор базисных функций имеет вид

Вычислим остаточные дисперсии для каждого из трех уравнений:

 

-а)Вычислим коэффициенты  парной линейной регрессии y = b₀ + b₁x по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате вычислений получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда имеем:

 

                                 ў=-239.334+50.27* x_i

Используя полученое  уравнение линейной регрессии, вычислим остаточную дисперсию:

,

      

 В случае линейной регрессии  ,   

 

-б) Коэффициенты уравнения параболической регрессии

 

y = b₀ + b₁x₁ + b₂

;

можно вычислить путем  решения системы уравнений:

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица Фишера содержит d строк и столбцов, где d - количество искомых коэффициентов регрессии:

 

 

 

Для данной модели количество искомых коэффициентов регрессии равно четырем.

Составим систему уравнений, которая содержит вектор-столбец свободных членов матрицы Фишера

 

 

Решение этой системы  и дает значение коэффициентов регрессии:

b0=1470, b1=-345.003, b2=-0.257, b3=0.102.

Далее рассчитываем остаточные дисперсии  для модели:

                                                            

,                                                        (2.11)

где - количество коэффициентов регрессии.

 

 

 

Для каждого коэффициента определим дисперсию, как

                                                                 

,                                        (2.12)

 

 

где - диагональные элементы матрицы :

  , .

, , ,

Далее проверяем значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого рассчитывается значение критерия

                                                  

,                                           (2.13)

t0 = 1.666, t1 =1.632, t3 = 1.122, t4 = 1.936.

Полученный критерий сравнивается с табличным значением  критерия Стьюдента t, выбираемого по уровню значимости α = 1-p и количеству степеней свободы ν = N.

Если tα > t, то данный коэффициент значимо отличается от нуля. В противном случае коэффициент незначимый и может быть исключен из мо- дели.

Для всех   из-за того, что при определении дисперсии коэффициентов, дисперсия погрешности эксперимента определяется очень грубо, все коэффициенты сохраняются в модели. Выбираем значение критерия Стьюдента tα = 2.09, при уровне значимости q = 0.05. Для расчета доверительных интервалов применяется теоретический предел дисперсии

                                               

.                                           (2.14)

, , ,

И доверительный интервал, определяется как

                                             

.                                              (2.15)

, , , .

Следовательно:

865.12 < b0 < 2075,

-486.966 < b1 < -203.04,

-0.363 < b2 < -0.151,

0.06 < b3 < 0.144.

Определим адекватность полученной модели по критерию Фишера.