Контрольная работа по "Финансовой математике"

Содержание

1. Задача 1 ………………………………………………………..............………2
2. Задача 2 ……………………………………....................................................15
3. Задача 3......…………………………………………………...........................27

Список литературы……………………………………………............................31

 

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о  кредитах от коммерческого банка  на жилищное строительство (в условных единицах) за четыре года (всего 16 кварталов).

                                                                                                           Таблица 1.1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Данные о кредитах	36	46	55	35	39	50	61	37	42	54	64	40	47	58	70	43

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную  модель Хольта – Уинтерса с  учетом сезонного фактора, приняв  параметры сглаживания  ₁=0,3;  ₂ =0,6; ₃=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

       -случайности остаточной компоненты  по критерию пиков;

       -независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (критические

        значения   d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту

      -автокорреляции при критическом  значении r₁=0,32;

      -нормальности распределения остаточной  компоненты по 

       R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4.   Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т. е. на 1 год.

5.   Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение:

1. Мультипликативная модель Хольта – Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, где k-период упреждения.

) – расчетное значение экономического  показателя для  t-периода;

a(t), b(t), F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальных данных L=4)

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1.1 Линейная модель имеет вид:

)=a(0)+b(0)*t. Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам:

;

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1.1, находим значения a(0) и b(0).

 

Таблица 1.2

	t	y(t)	y(t)-y ̅	t-t ̅	(t-t ̅)^2	(y(t)-y ̅)*(t-t ̅)	y ̂(t)
	1	36	-8,875	-3,5	12,25	31,0625	41,92
	2	46	1,125	-2,5	6,25	-2,8125	42,76
	3	55	10,125	-1,5	2,25	-15,1875	43,61
	4	35	-9,875	-0,5	0,25	4,9375	44,45
	5	39	-5,875	0,5	0,25	-2,9375	45,30
	6	50	5,125	1,5	2,25	7,6875	46,14
	7	61	16,125	2,5	6,25	40,3125	46,99
	8	37	-7,875	3,5	12,25	-27,5625	47,83
сумма		359			42	35,5	359
среднее	4,5	44,875			5,25

 

С учетом полученных коэффициентов  линейная модель имеет вид:

)=41,0714+0,845*t.

Из этого уравнения  находим расчетные значения ) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	36	46	55	35	39	50	61	37
Yp(t)	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92

 

Такое сопоставление позволяет  оценить приближенные значения коэффициентов  сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

Коэффициент сезонности есть отношение  фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному  по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений I квартала первого года, равное . Такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин. В результате расчета получим следующие данные:

;

;

Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), переходим к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится по формулам:

;    ; .

Значения  параметров сглаживания согласно заданию: ;   ;   .

Мультипликативная модель Хольта – Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Тогда для момента времени   t = 0 , k = 1 имеем:

=(41,0714+0,845)*0,85991=36,04455

Для t=1:

=41,90113

_=0,840576

=0,859463

Для t=2:

46,1464

42,70102

0,828372

=1,078218

Для t=3

55, 70592

43,36391

=0,778726

1,272894

Для t=4:

34,450

Для t=5:

Для t=6:

Для t=7:

Для t=8:

Для t=9:

Для t=10:

Для t=11:

Для t=12:

Для t=13:

 

Для t=14:

.

Для t=15:

Для t=16:

Занесём полученные данные в таблицу.

Таблица 1.4 Модель Хольта-Уинтерса

2. Оценка точности модели.

Оценим точность нашей модели по средней относительной  ошибке аппроксимации:

,   

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 17,77 что дает среднюю величину 17,77/16=1,111%.

Следовательно, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Для того, чтобы модель была адекватна  исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого  каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5. для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0. Общее число поворотных точек в нашей задаче равно p=10.

Таблица 1.5. Промежуточные расчеты  для оценки адекватности модели

 

 

Рассчитаем  значение q:

q = int [2× (N-2)/3 – 2× ]

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16     q = int [2× (16-2)/3 – 2× ] = 6.

Так как количество поворотных точек p больше q (p = 10; q = 6), то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

• Проверку независимости ряда остатков проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина – Уотсона;

2. по первому коэффициенту автокорреляции

1) По d-критерию Дарбина – Уотсона имеем:

Так как d > 2 , то имеет место отрицательная автокорреляция, поэтому уточним величину d, вычитая полученное значение из 4 (d` = 4 – d; d` = 1,58). Уточненное значение d` сравним с табличными значениями d<sub>1</sub>=1.10 и d<sub>2</sub> =1.37. Так как d<sub>2</sub><d`<2  (1.37 < 1,58 < 2), то условие независимости ряда остатков выполняется.

2) По первому  коэффициенту автокорреляции имеем, что

.

Так как  , то уровни ряда остатков независимы.

• Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению выполним по R/S-критерию: .

Из табл. 1.4 имеем, что  ;   

Тогда получим, что 

Подставив полученные значения, получим:   

Полученное значение R/S сравнивают с табличными значениями, которые даны (от 3 до 4,21). Так как 3 < 3,95 < 4,21, полученное значение R/S попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Так как выполняются все условия  адекватности модели, то данную модель можно считать удовлетворительной и использовать ее для расчета  прогнозных показателей Yp(t) на четыре квартала вперед.

4. Построение точечного прогноза на год.

Составим прогноз на четыре шага вперед (т. е. на 1 год, с t = 17 по t = 20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16), можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).

Для t = 17 имеем:

Yp(17) = Yp(16+1) = [a(16) + 1×b(16)] × F(16+1-4) = [a(16) + 1×b(16)] × F(13) = (55,68 + 0,97) ×0,8778 = 49,73.

Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20):

Yp(18) = Yp(16+2) = [a(16) + 2×b(16)] ×F(16+2-4) = [a(16) + 2×b(16)] × F(14) = (55,68 + 2×0,97) × 1,0803 = 62,25;

Yp(19) = Yp(16+3) = [a(16) + 3×b(16)] ×F(16+3-4) = [a(16) + 3×b(16)] × F(15) = (55,68 + 3 ×0,97) × 1,2757 = 74,74;