Контрольная работа по "Финансовой математике"

Министерство образования  и науки РФ

Федеральное агентство  по образованию

Государственное общеобразовательное  учреждение                                        высшего профессионального образования

Всероссийский заочный  финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

 

 

 

 

 

 

К О Н Т  Р О Л Ь Н А Я      Р А Б О Т А

По дисциплине «Финансовая математика»

Вариант №8

 

 

 

Выполнил: студент 4 курса

факультета финансово-кредитного

                                                                                           специальности ФиК

                                                                                      группа: вечерняя

 

                                                                              Руководитель: Арсеньев Ю.Н.

 

 

 

 

 

Тула  2007г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1.   Задание 1……………………………….…………………………………....3

2.   Задание 2……………………………….…………………………………...14

3.   Задание 3……………………………………….…………………………...21

Список использованной литературы……..…………..………………………24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.

 

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года):

Таблица 1. Исходные значения заданного временного ряда

Т	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40	45	58	69	42	50	62	74	46

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

-    случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

-   независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение:

1. Построение  модели Хольта-Уинтерса

Для оценки начальных значений и применим линейную модель с первыми восьми значениями заданного временного ряда (Таблица 2).

Линейная модель имеет  вид: . Оценим коэффициенты линейной модели и с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Таблица 2. Расчёт коэффициентов линейной модели

	1	39	-9,5	-3,5	33,25	12,25
	2	50	1,5	-2,5	-3,75	6,25
	3	59	10,5	-1,5	-15,75	2,25
	4	38	-10,5	-0,5	5,25	0,25
	5	42	-6,5	0,5	-3,25	0,25
	6	54	5,5	1,5	8,25	2,25
	7	66	17,5	2,5	43,75	6,25
	8	40	-8,5	3,5	-29,75	12,25
Сумма	36	388			38	42
Среднее значение	4,5	48,5

Определим значения коэффициентов нашей линейной модели по формулам:

          

Подставив исходные данные, получим:

Линейная модель с  учетом полученных коэффициентов имеет  вид:

Из этого уравнения  находим расчётные значения и сопоставляем их с фактическими значениями заданного временного ряда (Таблица 3).

Таблица 3. Значения заданного временного ряда и расчетной  модели

Т	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40
Yр(t)	45,3336	46,2386	47,1436	48,0486	48,9536	49,8586	50,7636	51,6686

 

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I – IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего году, по которому имеются данные. В результате расчёта получим следующие данные:

Адаптивная мультипликативная  модель Хольта-Уинтерса имеет вид:

Где k – период упреждения; - расчетное значение показателя для t-го периода; a(t), b(t) и F(t) – коэффициенты модели; - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается показатель; L – период сезонности (для квартальных данных L=4).

Уточнение (адаптация  к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производятся по формулам:

Значения параметров сглаживания, согласно заданию, таковы:

Тогда для момента  времени t=0, k=1 имеем:

При моменте времени t=1 имеем:

 

 

 

 

 

Для t=1, k=1 имеем:

 
       Для момента  времени t=2 имеем:

Для t=2, k=1 имеем:

Для момента времени t=3 имеем:

Для t=3, k=1 имеем:

Для момента времени t=4 имеем:

Для t=4, k=1 имеем:

Для момента времени t=5 имеем:

Для t=5, k=1 имеем:

Для момента времени t=6 имеем:

Для t=6, k=1 имеем:

Для момента времени t=7 имеем:

Для t=7, k=1 имеем:

Для момента времени t=8 имеем:

Для t=8, k=1 имеем:

Для момента времени t=9 имеем:

Для t=9, k=1 имеем:

Для момента времени t=10 имеем:

Для t=10, k=1 имеем:

Для момента времени t=11 имеем:

Для t=11, k=1 имеем:

Для момента времени t=12 имеем:

 
Для t=12, k=1 имеем:

Для момента времени t=13 имеем:

Для t=13, k=1 имеем:

Для момента времени t=14 имеем:

Для t=14, k=1 имеем:

Для момента времени t=15 имеем:

Для t=15, k=1 имеем:

Для момента времени t=16 имеем:

Занесем полученные данные модели Хольта-Уинтерса в таблицу 4.

2. Проверка точности модели

   Оценим точность полученной  модели по средней относительной  ошибке аппроксимации:

Таблица 4. Расчётные  данные по модели Хольта-Уинтерса

0		44,4300	0,9050	0,7825
1	39	45,3550	0,9110	0,8595	38,9428	0,0572	0,1468
2	50	46,2472	0,9054	1,0816	50,0678	-0,0678	0,1357
3	59	46,8806	0,8238	1,2654	60,1564	-1,1564	1,9600
4	38	47,9619	0,9010	0,7884	37,3284	0,6716	1,7675
5	42	48,8632	0,9011	0,8595	41,9991	0,0009	0,0021
6	54	49,8134	0,9158	1,0831	53,8230	0,1770	0,3278
7	66	51,1574	1,0443	1,2803	64,1940	1,8060	2,7364
8	40	51,7624	0,9125	0,7790	41,1545	-1,1545	2,8863
9	45	52,5785	0,8836	0,8573	45,2760	-0,2760	0,6134
10	58	53,4892	0,8917	1,0838	57,9022	0,0978	0,1687
11	69	54,2354	0,8480	1,2754	69,6212	-0,6212	0,9003
12	42	54,7328	0,7429	0,7720	42,9104	-0,9104	2,1676
13	50	56,3291	0,9989	0,8755	47,5611	2,4389	4,8777
14	62	57,2912	0,9878	1,0828	62,1332	-0,1332	0,2148
15	74	58,2011	0,9645	1,2730	74,3313	-0,3313	0,4478
16	46	59,2910	1,0021	0,7743	45,6770	0,3230	0,7021
Сумма						0,92	20,0549

 

Так как средняя относительная  ошибка аппроксимации меньше 5%, то условие  точности выполнено.

3. Проверка условий адекватности

    Оценим адекватность построенной модели. Для оценки адекватности модели исследуемому процессу нужно, чтобы ряд остатков E(t) обладал свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверку случайностей уровней  остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек, сведя промежуточные данные расчётов  в таблице 5.

Таблица 5. Промежуточные  расчёты для оценки адекватности модели

		Точки поворота
1	0,0572	-	0,0033	-	-	-
2	-0,0678	0	0,0046	-0,1251	0,0156	-0,0039
3	-1,1564	1	1,3373	-1,0886	1,1850	0,0784
4	0,6716	1	0,4511	1,8281	3,3418	-0,7767
5	0,0009	1	0,0000	-0,6708	0,4499	0,0006
6	0,1770	0	0,0313	0,1761	0,0310	0,0002
7	1,8060	1	3,2617	1,6290	2,6536	0,3197
8	-1,1545	1	1,3329	-2,9605	8,7648	-2,0851
9	-0,2760	0	0,0762	0,8785	0,7717	0,3187
10	0,0978	1	0,0096	0,3739	0,1398	-0,0270
11	-0,6212	0	0,3859	-0,7191	0,5170	-0,0608
12	-0,9104	1	0,8288	-0,2891	0,0836	0,5656
13	2,4389	1	5,9481	3,3493	11,2175	-2,2203
14	-0,1332	0	0,0177	-2,5720	6,6154	-0,3248
15	-0,3313	1	0,1098	-0,1982	0,0393	0,0441
16	0,3230	-	0,1043	0,6543	0,4281	-0,1070
Сумма	0,92	9	13,9026		36,2543	-4,2783