Теория вероятностей

 

Вариант №20

1. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «МАМА»?
2. Три предмета распределяются по 5 ячейкам случайным образом. Найти вероятность того, что все они попадут в разные ячейки.
3. Стержень длиной наудачу разломан на З части. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше .
4. Имеется пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что

а) все три билета стоят вместе семь рублей,

б) все три билета стоимостью по одному рублю.

5. Студент из 15 вопросов знает ответы только на 7 вопросов. Определить вероятность того, что из 5 наугад выбранных вопросов он знает ответы на 3 вопроса.
6. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос билета, равна 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса билета.
7. Рабочий обслуживает три станка, вероятность того, что в течение часа для первого станка не потребуется помощь рабочего равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что, по крайней мере, для двух станков не потребуется помощь рабочего.
8. В каждой из двух урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлекли шар и переложили во вторую. Найти вероятность того, что взятый после этого наудачу шар из первой урны окажется белым.
9. В урне находится один шар, о котором известно, что он либо белый, либо черный. В урну положили белый шар, а потом после тщательного перемешивания вынули наудачу один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что после этого вынут из урны белый шар?
10. Вероятность попадания в мишень хотя бы один раз при двух выстрелах для данного стрелка равна 0,99. Найти вероятность попадания в мишень данным стрелком при одном выстреле.
11. Вероятность появления события в одном испытании равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,05.
12. Вероятность появления события в одном опыте равна 0,9. Произведено 900 опытов. Найти наивероятнейшее число появлений события и вероятность такого результата.
13. Определить вероятность разрыва цепи, если P_i – надежность i – го элемента

 

Вариант №21

1. Числа 1,2,3,4,5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три карточки и располагаются в порядке появления слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом трехзначное число будет четным.
2. Лотерея выпущена на общую сумму N р. Цена одного билета р. Ценные выигрыши попадают на билетов. Определите вероятность ценного выигрыша на один билет.
3. Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из отрезка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
4. В лотерее N билетов, из которых M выигрышных. Участник купил k билетов. Какова вероятность того, что он ни по одному билету не выиграет?
5. В группе 25 студентов из них 5 отличников. Какова вероятность того, что среди 7 наугад выбранных по списку студентов 3 отличника.
6. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа для первого станка потребуется внимание рабочего, равна 0,3, для второго – эта вероятность равна 0,2, для третьего – 0,15. Какова вероятность того, что

1) для всех трех станков потребуется внимание рабочего,

2) ни для одного не потребуется  внимания.

7. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка эта вероятность равна 0,8, для третьего – 0,9, для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа по крайней мере один станок потребует к себе внимания рабочего.
8. В сосуд, содержащий 3 одинаковых по форме шара, брошен белый шар. После этого наудачу достают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету.
9. Урна содержит шаров. Все предположения о числе белых шаров в урне равновозможны. Наудачу выбранный из урны шар оказался белым. Вычислить вероятность всех предположений о составе шаров в урне. Какое предположение наиболее вероятно.
10. Вероятность изготовления прибора повышенного качества равна 0,74. Найти наивероятнейшее число приборов повышенного качества в партии из 80 приборов и вероятность этого результата.
11. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 200 деталей окажется 20 бракованных?
12. Произведено 1000 независимых испытаний, вероятность появления события в одном испытании равна 0,7. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты появления события от вероятности 0,7 по абсолютной величине не превзойдет 0,1.
13. Определить надежность схемы, если P_i – отказ i – го элемента

 

Вариант №22

1. Два игрока бросают монету по два раза каждый. Выигравшим считается тот, кто получит больше гербов. Найти вероятность того, что выигрывает первый игрок.
2. Какова вероятность, что наудачу взятое трехзначное число будет четным?
3. В прямоугольник с вершинами (-2; -1), (2; -1), (2; 1), (-2; 1) случайно брошена точка .Какова вероятность того, что она окажется внутри эллипса ?
4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
5. В ящике лежат 11 одинаковых по форме пуговицы, из них: 5 черных пуговиц. Работнице требуется пришить к очередному пальто 4 черные пуговицы. Определить вероятность того, что среди наугад взятых 4 пуговиц все пуговицы черные.
6. Покупатель приобрел пылесос и полотер. Вероятность того, что пылесос не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равна 0,95, для полотера такая вероятность равна 0,9. Найти вероятность того, что

а) оба прибора выдержат гарантийный  срок;

б) хотя бы один выдержит гарантийный срок.

7. Вероятность успешной попытки выполнить упражнение для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены упражнение выполняют по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.
8. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка №1 равна 0,03, а для станка №2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте; причем деталей со станка №1 складывается вдвое больше, чем со станка №2. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.
9. В пирамиде установлено 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
10. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 210 выстрелах и вероятность такого результата, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7.
11. Всхожесть семян некоторого растения равна 0,9. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдет не менее 80.
12. Вероятность наступления события в одном опыте равна 0,6. Вычислить вероятность того, при 6000 испытаниях событие произойдет не менее 340 и не более 380 раз.
13. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

 

Вариант №23

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков не менее 9?
2. Из последовательности чисел 1,2,…,100 наудачу выбираются 2 числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 30, а другое больше 30?
3. В прямоугольник с вершинами (-3; -1), (3; -1), (3; 1), (-3; 1) случайно брошена точка .Какова вероятность того, что она окажется внутри эллипса ?
4. В урне N белых шаров и M черных. Надуачу извлекается K шаров (K>M).Какова вероятность того, что в урне остались только белые шары?
5. В ящике в случайном порядке разложено двадцать деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна из этих деталей окажется стандартной.
6. В первой урне имеется 3 белых и 2 черных шара, во второй 4 белых и 6 черных. Шары отличаются только цветом. Из каждой урны достают по одному шару. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?
7. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет четным.
8. Два автомата штампуют однотипные детали. Производительность второго вдвое больше первого. Первый дает 2№ брака, второй 1%. Найти вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь окажется бракованной.
9. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% с заболеванием L, 20% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезни L и M эти вероятности соответственно равны0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
10. Вероятность того, что малое предприятие за год станет банкротом равна 0,2. Найти вероятность того, что из 10 малых предприятий за год сохранятся хотя бы два.
11. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 900 приборов окажется от 750 до 850 точных.
12. Игральный шестигранный кубик подбрасывается 500 раз. Какова вероятность того, что отклонение относительной частоты появления шестерки от вероятности ее появления в одном опыте по абсолютной величине не превзойдет 0,1?
13. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

 

Вариант №24

1. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:
2. Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
3. В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка (х,у). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у<2х.
4. В урне «а» белых шаров и «в» черных (а>2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми?
5. На складе имеются 8 изделий, 3 из них изготовлены заводом N. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу взятых изделий окажется не более половины, изготовленных заводом N.
6. На карточках написаны цифры 2,3,4,5,6,7,8,9.  Наудачу берут две карточки. Какова вероятность, что обе выбранные цифры нечетные.
7. В связке имеется 6 ключей, из которых только один подходит к двери. Найти вероятность того, что на открывание потребуется не более четырех опробований. Предполагается, что опробованный ключ в дальнейших опробованиях не участвует.
8. В урне содержится 7 черных и 3 белых шара. Из урны наудачу достают два шара и перекладывают во вторую урну. После этого из второй урны наудачу достают один шар. Найти вероятность того, что он белый.
9. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны ; ; .
10. Найти вероятность того, что при 5 бросаниях монеты число появлений герба будет больше числа появлений решек.
11. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний , при котором с вероятностью 0,9973 можно ожидать, что относительная частота появления события отклониться от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,02.
12. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,9. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью не меньшей 0,8 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты от вероятности появления события в одном испытании равной 0,9 не превзойдет 0,2.
13. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

 

Вариант №25

1. Из букв слова «ротор», составленного из букв разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор».
2. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на этих кубиках, равна 8.
3. На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет между 36 см² и 81 см².
4. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.
5. Среди 6 лотерейных билетов 2 выигрышных. Наудачу берут два билета. Какова вероятность того, что среди них окажется:

а) один выигрышный;

б) два выигрышных.

6. В лотерее 100 билетов из которых 20 выигрышных. Участник покупает два билета. Определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным.
7. На карточках написаны цифры 4,5,7,8,9. Наудачу берут две карточки. Какова вероятность, что обе выбранные цифры окажутся нечетными?
8. По самолету производится два выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна 0,6. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,5, при двух – с вероятностью – 0,9. Какова вероятность того, что самолет будет сбит.
9. В ящик, где 10 деталей 1-го сорта и 3 детали 2-го сорта, токарь положил одну изготовленную деталь. После чего сборщик взял наудачу из ящика одну деталь, которая оказалась первого сорта. Найти вероятность того, что вложенная токарем деталь была 2-ого сорта, если он изготавливает детали только 1-го и 2-го сортов с вероятностями 0,95 и 0,5 соответственно.
10. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 20 новорожденных будет 11 мальчиков.
11. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Найти вероятность того, что из 10000 посеянных семян взойдет 900.
12. Для данного стрелка вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Произведено 1000 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что число попаданий будет менее 80 и не более 95.
13. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

 

 

 

 

 

Вариант №26

1. На пяти карточках написаны цифры 1,2,3,4,5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.
2. Вероятность того, что в течение одной смены возникает неполадка станка, равна 0,1. Найти вероятность того, что не пройдет ни одной неполадки за три смены.
3. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 10 см. На плоскость наудачу бросается монета радиуса 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
4. В урне 7 белых шаров и 3 черных. Наудачу достают 2 шара. Какова вероятность того, что они разного цвета.
5. В ящике имеется 5 красных шаров и 3 синих, шары отличаются только цветом. Наудачу достают два шара. Найти вероятности того, что оба шара окажутся: