Теория вероятностей

Задание 1.

Кубик (игральная кость) подбрасывается один раз.

 События:

A={на верхней грани  выпало четное число очков},

B={на верхней грани выпало число очков, кратное 3}.

Построить множество элементарных исходов и выразить через эти исходы указанные события.

 

Решение.

Рассмотрим события: ωk1 = {на верхней грани кубика выпало k четных чисел очков} и ωk2 ={на верхней грани кубика выпало k чисел очков, кратных 3}, (k1,2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Эти события являются элементарными исходами, поэтому Ω1,2 = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.

Событию А благоприятствуют исходы: ω2, ω4, ω6, поэтому А ={ω2, ω4, ω6}.

Событию В благоприятствуют исходы: ω3, ω6, поэтому В ={ω3, ω6}.

 

Задание 2.

В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что купленный телевизор не имеет скрытых дефектов.

 

Решение.

Общее число исходов n = 30. Число исходов благоприятствующих событию А того, что купленный телевизор не имеет скрытых дефектов, равно  k = 25 (30 – 5).

По формуле  Р(А) = k / n найдем вероятность того, что купленный телевизор не имеет скрытых дефектов.

Р(А) = 25 / 30 = 0,833.

 

Ответ: 0,833.

 

 

 

 

Задание 3.

В точке C, положение которой на телефонной линии AB длины lo равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что C удалена от A на расстояние, большее 1.

 

Решение.

Участок телефонной линии АВ разобьем точкой С на две части (рис. 1)

 

                                                     АВ = lo

                   АС > 1

               А                    С                                               В

Рис.1.

Определим вероятность того, что C удалена от A на расстояние, большее 1 по формуле геометрической вероятности на прямой

р = lа / lе, где в нашем случае длина отрезка АС, lе – длина отрезка АВ.

По условию задачи lа = 1 + k, где k – любое число, большее нуля; lе = lo. Следовательно, вероятность того, что C удалена от A на расстояние, большее 1 равна:

р = (1 + k) / lо.

 

Ответ: (1 + k) / lо.

 

Задание 4.

Производится стрельба в мишень до первого попадания. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, то будет произведено 6 выстрелов.

 

Решение.

Введем события Аk = {будет произведено k выстрелов}, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6; А = {произведено 6 выстрелов}. Тогда имеем А = Ā1 Ā2 Ā3 Ā4 Ā5 А6. Так как события Аk (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) независимы в совокупности (т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или не появления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

Р(А) = Р(Ā1) Р(Ā2) Р(Ā3) Р(Ā4) Р(Ā5) Р(А6).

Но Р (Āk) = 1 – 0,2 = 0,8,   k = 1, 2, 3, 4, 5.

Поэтому Р(А) = 0,85 · 0,2 = 0,328 · 0,2 = 0,066.

 

Ответ: 0,066.

 

 

 

 

 

 

Задание 5.

В цехе 14 установок с автоматическим контролем и 6 с ручным.

Вероятность изготовления некондиционной продукции для установок с автоматическим контролем составляет 0,001, с ручным контролем - 0,002.

Какова вероятность того, что взятая на лабораторный анализ продукция цеха оказалась кондиционной?

Решение.

Пусть А = {взятая продукция оказалась кондиционной}.

Введем систему гипотез: Нk = {продукция изготовлена на участке с k –ым контролем}, k = 1, 2.

Найдем вероятности гипотез

Р(Н1) = = 0,7;    Р(Н2) = = 0,3.

 

Согласно условию задачи условные вероятности события А равны

Р(А/ Н1) = 0,001   и    Р(А/ Н2) = 0,002.

По формуле полной вероятности

   

Р(Н k / А) =

Имеем:

Р(А) = Р(Н1) Р(А/ Н1) + Р(Н2) Р(А/ Н2) = 0,7 · 0,001 + 0,3 · 0,002 = 0,0013.

 

Ответ: 0,0013.

 

Задание 6.

Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится:

а) 1 раз; б) 2 раза; в) 3 раза.

 

Решение.

Введем в рассмотрение событие Аi = {брошенная монета появится k раз}.   k = 1, 2, 3. Тогда  р = Р(Аi) = k / 5. Монета бросается n = 5 раз, поэтому вероятность искомого события можно найти по формуле Бернули

 

Рn(k) = Сnkр k(1 - р)п – k,  k = 0, 1, …, n.

 

Получим:

А)  Р5(А1) = С51 р 1(1 - р)4 = 5 · 0,2 (1 – 1/5) 4= 0,4096.

Б)  Событие А2 означает, что герб появится 2 раза из пяти

Р5(А2) = С52 р 2(1 - р)3= 10 · 0,42 (1 – 2/5)3 = 0,3456.

В)  Событие А3 означает, что герб появится 3 раза из пяти

Р5(А3) = С53р 3(1 - р)2= 15 · 0,63 (1 – 3/5)3 = 0,2074.

 

Ответ: а) 0,4096; б) 0,3456; в) 0,2074.

 

 

Задание 7.

Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,002. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что:

а) в коробке не окажется бракованных сверл;

б) число 42 бракованных сверл окажется не более 3.

 

Решение.

А) Искомая вероятность равна Рп (0).

Так как р мало для вычисления вероятностей используем формулу Пуассона

Рп (k) = е-λ, k = 0, 1, 2,… .

 Находим  λ = пр = 100 · 0,002 = 0,2.

Следовательно, искомая вероятность равна

 

Р100 (0)  = е-0,2 = ·2,718-0,2 = ·(1 / 2,7180,2 ) = 0,819.

 

Б) найдем Р100 (3)  = е-0,2 = ·2,718-0,2 = 0,001 ·(1 / 2,7180,2 ) = 0,0008.

 

воспользуемся формулой   Рп (k1 ≤ k ≤ k2) =

 Рп (k) нашли по формуле Пуассона.

Р100(0) = 0,819;    Р100(3) = 0,0008;  р = 0,002;     q = 1 – 0,002 = 0,998; 

  k1 = 0;  k2 = 3

Рп (k1 ≤ k ≤ k2) = = 0,819 + 0,0008 = 0,820.

 

Ответ: а) 0,819; б) 0,820.

 

 

 

 

 

 

Задание 8.

Составить закон распределения случайной величины Х - числа появления герба при двух бросаниях монеты.

 

Решение.

Случайная величина Х (Х – число появления герба при двух бросаниях монеты) может принимать только значения 0, 1 или 2. Поскольку было всего два бросания монеты, то вероятность появления герба составит 1 / 2 = 0,5.

Найдем вероятности, с которыми эти значения принимаются. Случайная величина Х принимает значение 0, если оба бросания монеты показали решку. Значит,

Р(Х=0) = (1 – 0,5) · (1 – 0,5) = 0,25.

Случайная величина Х принимает значение 1, если одно из двух бросаний монеты показало герб. Значит,

Р(Х=1) = 0,5 · (1 – 0,5) + (1- 05) ·0,5 = 0,5.

Случайная величина Х принимает значение 2, если оба бросания монеты показали герб. Значит,

Р(Х=2) = 0,5 · 0,5 = 0,25.

Составим ряд распределения.

 

Ответ:

Х	0	1	2
Р	0,25	0,50	0,25

 

 

 

Задание 9.

Для равномерно распределенной на [a; b] случайной величины Х найти функцию распределения.

 

Решение.

Считаем, что Х – случайная величина, равномерно распределенная на промежутке [a; b], то её функция распределения имеет вид:

f (х) = 1 / (b – a)  при х [a; b],

f (х) = 0     при  х [a; b].

 

 

 

 

 

Задание 10.

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

 

х	3	6	8
р	0,2	0,1	0,7

 

 

Найти закон распределения случайной величины Y = 2X + 1.

 

Решение.

По формуле уi = (xi), i = 1, 2, 3, … .

Находим возможные значения случайной величины Y = 2X + 1. Получаем:

 

Y 1 = 2 · Х1 + 1 = 2 · 3 + 1 = 7;

Y 2 = 2 · Х2 + 1 = 2 · 6 + 1 = 13;

Y 3 = 2 · Х3 + 1 = 2 · 8 + 1 = 17.

Так как функция Y = 2X + 1 монотонна, то вероятности с которыми Y принимает свои значения: 7, 13, 17, равны вероятностям, с которыми Х принимает свои значения: 3, 6, 8 соответственно. Значит р1 = 0,2,  р2 = 0,1,    р3 = 0,7.  Выписываем закон распределения для Y.

 

Ответ:

 

Y	7	13	17
Р	0,2	0,1	0,7

 

 

 

Задание 11.

Задан закон совместного распределения системы дискретных случайных величин(Х,Y):

х у	26	30	41	50
2,3	0,05	0,12	0,08	0,04
2,7	0,09	0,30	0,11	0,21

 

 

Найти законы распределения составляющих Х и Y.

 

Решение.

Сложив вероятности «по столбцам» в исходной таблице, получим вероятности возможных значений Х:

Р(Х = 26) = 0,05 + 0,09 = 0,14;

Р(Х = 30) = 0,12 + 0,30 = 0,42;

Р(Х = 41) = 0,08 + 0,11 = 0,19;

Р(Х = 50) = 0,04 + 0,21 = 0,25.

Напишем закон распределения составляющей Х:

Х	26	30	41	50
р	0,14	0,42	0,19	0,25

 

 

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределение составляющей Y:

Р(Y = 2,3) = 0,05 + 0,12 + 0,08 + 0,04 = 0,29;

Р(Y = 2,7) = 0,09 + 0,30 +0,11 + 0,21 = 0,71.

Y	2,3	2,7
р	0,29	0,71

 

 

Ответ:

 

Х	26	30	41	50
р	0,14	0,42	0,19	0,25

 

и

Y	2,3	2,7
р	0,29	0,71

 

 

 

Задание 12.

Записать эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом.

А)

хi	15	16	17	18	19
ni	1	4	5	4	2

 

 

Б)

xi	2	3	4	5	6	7	8
ni	1	3	4	6	5	2	1

 

 

 

Решение.

Статистической (эмпирической) функцией распределения F*(x) называется закон изменения частоты события X < x в данном статистическом материале, то есть

,

Для того, чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х, надо подсчитать число опытов, в которых случайная величина Х приняла значения меньше, чем х, и разделить на общее число произведенных опытов.

А) объем выборки п = 1 + 4 + 5 + 4 + 2 = 16.

Найдем относительные частоты и накопленные частоты для вариационного ряда А:

хi	15	16	17	18	19
ni	1	4	5	4	2
fi	1/16	4/16	5/16	4/16	2/16
s	1	5	10	14	16

 

 

Составим эмпирическую функцию распределения А.

 Наименьшая варианта  равна 15, следовательно, F5(х) = 0  при  х ≤ 15.

 Значение X < 16, а именно х1 = 15 наблюдалось один раз; следовательно,  F5(х) = 1/16  при  15 < х ≤ 16.

Значение X < 17, а именно х1 = 15 и х2 = 16 наблюдалось пять раз; следовательно,  F5(х) = 5/16  при  16 < х ≤ 17.

Значение X < 18, а именно х1 = 15, х2 = 16, х3 = 17 наблюдалось десять раз; следовательно,  F5(х) = 10/16  при  17 < х ≤ 18.

Значение X < 19, а именно х1 = 15, х2 = 16, х3 = 17, х4 = 18 наблюдалось четырнадцать раз; следовательно,  F5(х) = 14/16  при  18 < х ≤ 19.

     Так как  Х = 19 – наибольшая варианта, то F5(х) = 1  при  х > 19.

     Окончательно  имеем

F5(х)

 

 
Б) объем выборки п = 1 + 3 + 4 + 6 + 5 + 2 + 1 = 22

Найдем относительные частоты для вариационного ряда Б:

xi	2	3	4	5	6	7	8
ni	1	3	4	6	5	2	1
fi	1/22	3/22	4/22	6/22	5/22	2/22	1/22
s	1	4	8	14	19	21	22