Теория вероятностей

 

 Составим эмпирическую функцию распределения Б.

 Наименьшая варианта  равна 2, следовательно, F5(х) = 0  при  х ≤ 2.

 Значение X < 3, а именно х1 = 2 наблюдалось один раз; следовательно,  F5(х) = 1/22  при  2 < х ≤ 3.

Значение X < 4, а именно х1 = 2 и х2 = 3 наблюдалось четыре раза; следовательно,  F5(х) = 4/22  при  3 < х ≤ 4.

Значение X < 5, а именно х1 = 2, х2 = 3, х3 = 4 наблюдалось восемь раз; следовательно,  F5(х) = 8/22 при  4 < х ≤ 5.

Значение X < 6, а именно х1 = 2, х2 = 3, х3 = 4, х4 = 5  наблюдалось четырнадцать раз; следовательно,  F5(х) = 14/22  при  5 < х ≤ 6.

Значение X < 7, а именно х1 = 2, х2 = 3, х3 = 4, х4 = 5, х5 = 6    наблюдалось девятнадцать раз; следовательно,  F5(х) = 19/22  при  6 < х ≤ 7.

Значение X < 8, а именно х1 = 2, х2 = 3, х3 = 4, х4 = 5, х5 = 6, х6 = 7      наблюдалось двадцать один раз; следовательно,  F5(х) = 21/22  при  7 < х ≤ 8.

     Так как  Х = 8 – наибольшая варианта, то F5(х) = 1  при  х > 8.

     Окончательно  имеем

F5(х)

 

Задание 13.

1; 2; 3; 4; 5; 5; 9.

вычислить выборочные среднее, дисперсию, моду и медиану выборки.

 

Решение.

Запишем вариационный ряд.

xi	1	2	3	4	5	9
ni	1	1	1	1	2	1
s	1	2	3	4	6	7

 

 

Выборочное среднее найдем по формуле

 

i = i

х = 1/ 7 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 9) = 4,14.

Рассчитаем выборочную дисперсию:

 [Х] = 7/6 (1/7 ((12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 52  + 92)    – 4,142) = 23,98.

 

Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 5, следовательно, выборочная мода х = 5. Так как п = 6 (четное), то медиана x = 0,5 (3 + 4) = 3,5.

 

Ответ: х = 4,14; [Х] = 23,98; х = 5; x = 3,5.

 

 

 

Задание 14.

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

 

mi	6	8	13	15	20	16	10	7	5
ni	5	9	14	16	18	16	9	6	7

 

 

Решение.

По формуле

 Хн2 = i – n i )2 / n i

найдем наблюдаемое значение критерия

 

Хн2 = (6 – 5)2 / 5 + (8 – 9)2 / 9 +(13 – 14)2 / 14 +(15 – 16)2 / 16 +(20 – 18)2 / 18  +(16 – 16)2 / 16 +(10 – 9)2 / 9 +(7 – 6)2 / 6 +(5 – 7)2 / 7 = 1,08.

 

Число групп S = 9. Так как нормальный закон имеет два параметра а и , которые находятся по выборочным данным, то r = 2. Значит, v = 9 – 2 – 1 = 6. По таблице критических точек распределения хи-квадрат для = 0,05, v = 6 находим Хкр2 = 12,6. Так как Хн2 < Хкр2, расхождения между эмпирическими частотами случайны. И гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности следует принять.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика / И.И. Баврин. - М.: Высш. шк., 2005.— 160 с.
2. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров.
3. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика», Москва, «Юрайт», 2009. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», Москва, «Юрайт», 2009.
4. Руководство к решению задач по теории вероятностей: Учебное пособие Автор/создатель: Маценко П.К., Селиванов В.В. Ульяновск,  2000 
5. Элементы математической статистики. Лекции/ Электронный ресурс. Режим доступа: http://fs.nashaucheba.ru/docs/180/index-440350.html