Теория игр

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Октября 2013 в 13:29, контрольная работа

Описание работы

1. Решить игру с природой
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,4;
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;
г) Решить игру с природой по критерию Вальда.
2. Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций

Файлы: 1 файл

теория игр.doc

— 183.00 Кб (Скачать файл)
    1. Решить игру с природой

 

а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,4;

 

I) если А – матрица  выигрышей  

II) если А – матрица  потерь  

I) если А – матрица  выигрышей, то оптимальной является 2 стратегия

 

II) если А – матрица  потерь, то оптимальной является 3 стратегия

 

б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;

I) если А – матрица  выигрышей  

II) если А – матрица потерь  

I) если А – матрица  выигрышей, то оптимальной является 2 (19) стратегия

II) если А – матрица  потерь, то оптимальной является 3 (2) стратегия

в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;

 

Строится матрица R – матрица риска.

Элементы находятся  по формуле

 

I) если А – матрица выигрышей

Оптимальной является 3 (14) стратегия

 

II) если А – матрица потерь

Оптимальной является 1 (4) стратегия

 

г) Решить игру с природой по критерию Вальда.

Критерий Вальда (максиминный, минимаксный)

 

I) если А – матрица выигрышей,  то выбирается 

Оптимальной является 2 (2) стратегия

 

II) если А – матрица потерь, то выбирается

Оптимальной является 1 (5) стратегия.

 

    1. Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций

 

 

h

игрок А

игрок B

Приближенные значения цены

стратегия

Накопл. выигр. В

стратегия

Накопл. выигр. A

В1

В2

В3

A1

A2

A3

Vn1

Vn11

Vnср

1

А1

-1

3

6

В1

-1

0

6

-1

6

2,5

2

A3

5

11

9

В1

-2

0

12

2,5

6

4,25

3

A3

11

19

12

В1

-3

0

18

3,666667

6

4,833333

4

A3

17

27

15

В3

3

8

21

3,75

5,25

4,5

5

A3

23

35

18

В3

9

16

24

3,6

4,8

4,2

6

A3

29

43

21

В3

15

24

27

3,5

4,5

4

7

A3

35

51

24

В3

21

32

30

3,428571

4,571429

4

8

A2

35

55

32

В3

27

40

33

4

5

4,5

9

A2

35

59

40

В1

26

40

39

3,888889

4,444444

4,166667

10

A2

35

63

48

В1

25

40

45

3,5

4,5

4

11

A3

41

71

51

В1

24

40

51

3,727273

4,636364

4,181818

12

A3

47

79

54

В1

23

40

57

3,916667

4,75

4,333333

13

A3

53

87

57

В1

22

40

63

4,076923

4,846154

4,461538

14

A3

59

95

60

В1

21

40

69

4,214286

4,928571

4,571429

15

A3

65

103

63

В3

27

48

72

4,2

4,8

4,5

16

A3

71

111

66

В3

33

56

75

4,125

4,6875

4,40625

17

A3

77

119

69

В3

39

64

78

4,058824

4,588235

4,323529

18

A3

83

127

72

В3

45

72

81

4

4,5

4,25

19

A3

89

135

75

В3

51

80

84

3,947368

4,421053

4,184211

20

A3

95

143

78

В3

57

88

87

3,9

4,4

4,15


 

Игрок А использовал 1ю (A1) стратегию 1 раз, A2 = 3, A3 = 16.

Р (А1) = 1/20

Р (А2) = 3/20

Р (А3) = 4/5

 

Игрок B использовал 1ю (B1) стратегию  9 раз, B2 = 0, B3 = 11.

Р (В1) = 9/20

Р (В2) = 0

Р (В3) = 11/20

 

Ответ:

Оптимальные стратегии  1-го игрока p = (1/20, 3/20, 4/5)

      2-го игрока q = (9/20, 0, 11/20).

Цена игры W = 4,15.

 

    1. Решить игру симплекс-методом

 

Для первого игрока:

 

F = -y1-y2-y3-y4→max или F = y1+y2+y3+y4→min

 

 При ограничениях:

 

Для второго игрока:

 

F=х1+х2+х3+х4→max

 

При ограничениях:

 

 

Решим симплекс-методом задачу для второго игрока.

Построим симплекс таблицу:

 

Базис

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

Р

х5

2

2

3

1

1

0

0

0

1

х6

-1

8

6

3

0

1

0

0

1

х7

5

7

4

6

0

0

1

0

1

х8

3

2

4

0

0

0

0

1

1

 

-1

-1

-1

-1

0

0

0

0

 

 

Разрешающий элемент  а34=6

Базис

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

Р

х5

1 1/6

5/6

7/3

0

1

0

-1/6

0

5/6

х6

-3 1/2

9/2

4

0

0

1

-1/2

0

1/2

x4

5/6

1 1/6

2/3

1

0

0

1/6

0

1/6

х8

3

2

4

0

0

0

0

1

1

 

- 1/6

1/6

-1/3

0

0

0

1/6

0

1/6


 

Разрешающий элемент  а23=4

Базис

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

Р

х5

77/24

-43/24

0

0

1

-7/12

1/8

0

13/24

х3

-7/8

9/8

1

0

0

1/4

-1/8

0

1/8

x4

17/12

5/12

0

1

0

-1/6

1/4

0

1/12

х8

13/2

-5/2

0

0

0

-1

1/2

1

1/2

 

-11/24

13/24

0

0

0

1/12

1/8

0

5/24


 

Разрешающий элемент  а41=17/12

Базис

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

Р

х5

0

-93/34

0

-77/34

1

-7/34

-15/34

0

6/17

х3

0

47/34

1

21/34

0

5/34

1/34

0

3/17

x1

1

5/17

0

12/17

0

-2/17

3/17

0

1/17

х8

0

-75/17

0

-78/17

0

-4/17

-11/17

1

2/17

 

0

23/34

0

11/34

0

1/34

7/34

0

4/17


 

Таким образом:

х* = (1/17, 3/17, 6/17, 2/17), при этом F* = 4/17.

Отсюда υ = 1/(1/17 + 3/17 + 6/17 + 2/17) = 17/12.

Z* = υх* = (1/12, 1/4, 1/2, 1/6)

Находим решение двойственной задачи:

y* = (23/34, 11/34, 1.34, 7/34).

F* = 4/17.

U* = υy* = (23/24, 11/24, 1.24, 7/24)

 

Ответ:

Оптимальные стратегии  1-го игрока U* = (23/24, 11/24, 1.24, 7/24)

          2-го игрока Z* = (1/12, 1/4, 1/2, 1/6).

Цена игры W=17/12.

 

    1. Решить игру графически

 

α – нижняя цена игры 

β – верхняя цена игры

Если верхняя и нижняя граница совпадают, значит, их общее значение является седловой точкой.

, значит, есть седловая точка, тогда цена игры =7, значит, игра имеет решение в чистых стратегиях.

 

Это те стратегии для игроков, которые были найдены при поиске нижней и верхней цен игры.

В нашем случае для 1-го игрока оптимальной будет стратегия A3, а для 2-го игрока B1.

Совокупность этих чистых стратегий называется решением игры.

 

Ответ:

Выигрыш игрока А  составит 7 ден.ед.

Проигрыш игрока В  составит 7 ден.ед.

Игрок А использует чистую стратегию A3.

Игрок В использует чистую стратегию B1.

 

    1. Найти верхнюю и нижнюю цену игры, проверить игру на наличие седловой точки

 

α – нижняя цена игры 

β – верхняя цена игры

 

Если верхняя и нижняя граница совпадают, значит их общее значение является седловой точкой.

 

, значит, седловая точка есть.

 

Ответ:

Седловая точка есть.


Информация о работе Теория игр