Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Операционный  метод:

Операционное  исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

 

Решение № 1:

Операторный метод.

Тогда:

При p=0:

При  р=3:

При  р=-1:

При :

Используя формулы, получаем:

При  р=0:

При  р=3:

При  р=-1:

При :

Используя формулы, получаем:

Ответ:      

Решение № 2:

При t:

При :

Ответ:

Задание № 7.

Теоретическая часть:

Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция действительной переменной t, удовлетворяющая приведенным ниже условиям.

4. на любом отрезке функция имеет лишь конечное число точек разрыва, причем только первого рода.
5. =0 при t< 0; .
6. растет при не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные и , что   для всех t>0.

Точная нижняя грань чисел  , для которых имеет место последнее неравенство, т.е. величина , называется показателем роста функции .

 

Преобразование  Лапласа (или изображением) функции-оригинала называется функция F(p), определяемая формулой: , где p – комплексная переменная.

Если F(p) есть изображение функции , то пишут: .

 

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными  коэффициентами

 

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ)

                             

с начальными условиями

                                                                                  

Считаем, что  , а функция и решение x(t) вместе с его производными до n-го порядка включительно являются оригиналами.

Обозначим:

Тогда применяя к обеим  частям уравнения преобразование Лапласа  и пользуясь его свойствами линейности и дифференцирования оригинала, получаем операторное уравнение:

 

 

Перегруппировав слагаемые, можно записать операторное уравнение  в виде:

 где A(p) - характеристический многочлен, определяемый формулой:

Решая операторное уравнение  относительно X(p), получаем операторное решение:

Найдя теперь оригинал для  X(p), мы получим искомое решение x(t).

 

Решение система  линейных дифференциальных уравнений  с постоянными коэффициентами.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются операторным методом аналогично тому, как решаются ЛДУ, с тем лишь отличием, что вместо одного операторного уравнения получается система операторных  уравнений, линейных относительно изображений  искомых функций.

Операционный  метод:

Операционное  исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

 

Решение:

Операционный метод:

 

 

 

 

x=(1+)/

 

 

 

 

 

x(p)=

Ответ :

2-ой  способ решения:

Решение:

 

 

 

 

 

 

=0

4At+4B=t

 

 

Ответ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Пискунов Н.С.  Дифференциальное и интегральное исчисление, том 2, 2006
2. Ефимов А.В., Поспелов А.С. Сборник задач по математике, 2004
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, 2002г.
4. Учебно-методическое пособие №1713, Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко «Ряды и дифференциальные уравнения», МИСиС
5. Учебно-методическое пособие №1665, Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко «Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление», МИСиС.