Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Федеральное Агентство  по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

 

Московский Государственный  Институт Стали и Сплавов

(технологический  университет) 

Кафедра промышленного менеджмента

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа по высшей математике на тему:

 

 

«Приложение интегрального  и дифференциального исчисления к решению прикладных задач».

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Захарова Елизавета

группа МЭ-10-3

 

Проверил:

Дьяченко О. Н.

 

 

 

 

 

 

 

Москва

2012

Вступление

Данная курсовая работа является результатом самостоятельного изучения нескольких разделов курса высшей математики (в частности следующих тем: решение  оптимизационных задач геометрическим и симплексным методом, ряды Фурье, коэффициенты Фурье и применение их свойств для ортогонализации системы, кратные интегралы и их приложение для решения задач). В работе приведены задания, содержащие теоретическую и практическую часть по вышеуказанным темам. Основные теоремы и формулы помогут разобраться в материале и научиться применять его при решении задач не только по математике, но и по физике и технике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)=x²+4x+y²-6y в замкнутой ограниченной области D: x²+y² 9; y -x.

Теоретическая часть:

I). Если из уравнения связи найти y как функция x, т.е f(x, y(x)), тогда задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на заданном отрезке.

Находим значение функции  в точках, в которых выполнено  необходимое условие наличия  экстремумов функции (точки попадания  в данную область)

Из найденных значениях  выбираем наибольшее и наименьшее значения.

(x₀,y₀) – точка условного экстремума f(x;y)

Для максимума:

1. (x₀;y₀) – удовлетворяет уравнению связи

2. Существует такая окрестность  точки (x₀;y₀), что для любых (х;у), таких что

(Аналогично для минимума).

II). Нахождение точек в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции методом множителей Лагранжа.

z=f(x;y),  .

1. Составляем функцию 3-х переменных
2. Для функции F находим точки в которых выполнено необходимое условие обычного экстремума:

 

Решение:

1. Рисуем область ограничения D:

 

2) Находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума.

 

(т.е не принадлежит области определения).

3) Находим наибольшее  и наименьшее значения на границе области.

 а) y=-x,

б)  Находим точки, в  которых выполнено необходимое  условие условного экстремума с  помощью теоремы Лагранжа.

 

 при

 при 

Ответ:

x	y	z
-3	0	-3
0	-3	27
		30,68
		-12,67

Задание № 2

Завод производит два вида продукции : А и В. Единица продукции вида А требует 5 часов на обработку деталей, 3 часа на сборку и 4 часа на упаковку. А единица продукции типа В требует соответственно 2, 12 и 8 часов. Оборудование завода позволяет потратить на эти операции соответственно 40, 60 и 48. Единица продукции первого вида даёт прибыль в размере 7 у.е., а второго – 21 у.е. . Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Решить задачу двумя способами ( геометрическим методом и симплексным методом).

 

	На обработку деталей,час	На сборку,час	На упаковку, час
Продукция типа А	5	3	4
Продукция типа В	2	12	8
Завод позволяет,час	40	60	48

 

Геометрический  метод.

Решение:

-количество продукции типа А

-количество продукции типа В

Тогда 7 +21 – общая выручка, максимизируя ее, получаем целевую функцию.

7 +21 max - целевая функция, обеспечивающая заводу максимальную прибыль.

Ограничения по фонду времени:                     

5 +2 40

3 +12 60

4 +8 48

>0, >0

 

Теоретическая часть:

Рассмотрим вначале геометрический метод. В общем случае, он применим лишь в том случае, если ЗЛП содержит не более 2-х переменных величин (не считая самого значения целевой функции). В некоторых случаях ЗЛП с числом переменных более двух может быть сведена к ЗЛП с двумя переменными, однако здесь мы не будем касаться этих возможностей. Суть геометрического метода заключается в следующем:

1. На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решения ЗЛП.
2. Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.
3. Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.
4. Возможны два варианта:

1. Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка,  лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.
2. Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.

 

5 +2 =40 (1)

3 +12 =60(2)

4 +8 =48 (3)

В данном случае многоугольник  ODABC представляет собой область допустимых решений ЗЛП. Как можно видеть из рисунка оптимальным решением ЛЗП является точка A с координатами (4;4).

На пересечении графиков (2) и (3) достигается максимальное значение функции:

Решаем систему из (2) и (3) уравнения:

Получаем: 

Подставим в целевую функцию:

Ответ: Максимальная прибыль в 112 у.е. будет достигаться при следующем плане выпуска: 4 единицы товара и 4 единицы товара .

 

Симплексный метод.

Теоретическая часть:

Однако ЗЛП с двумя  переменными на практике встречаются  редко. В реальных задачах их число  может доходить до сотен. Мощным инструментом для решения подобных задач является симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в ЗЛП с практически любым конечным числом переменных. Здесь мы не будем останавливаться подробно на симплекс-методе. Укажем лишь основные его черты. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этого обычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, что оптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимых решений ЗЛП. Вначале  выбирается произвольно любая вершина многогранника (иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затем осуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживается оптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертой симплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход к следующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевой функции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимального решения.  Решим рассмотренную ранее задачу симплекс-методом.

Решение:

Приведем задачу к каноническому  виду. Система ограничений должна быть представлена в виде уравнений. Для этого введем в первое ограничение  дополнительную переменную - , во второе – , в третье – .

7 +21 max

   

 

Запишем ограничения и  целевую функцию с учетом введенных  дополнительных переменных:

 

Процесс перебора вершин многогранника  допустимых решений в поисках  оптимального отразим в следующей  симплекс-таблице:

 

	х1	х2	x3	x4	x5	B
x3	5	2	1	0	0	40
x4	3	12	0	1	0	60
x5	4	8	0	0	1	48
Инд.строка	-7	-21	0	0	0	0

В первой строке записываются коэффициенты целевой функции при  соответствующих переменных второй строки.

В втором столбце записываются переменные, находящиеся в базисе.

В первом столбце записываются коэффициенты целевой функции переменных, находящихся в базисе.

Последняя строка – индексная. Ее элементы вычисляются по формуле

Α_s= s-й столбец*1 столбец – число, стоящее в 1 строке и s-м столбце.

Одновременно с этим последний  элемент индексной строки является значением целевой функции.

У нас в базисе , , .

Симплексное преобразование выполняется по следующему правилу:

1. Выбираем разрешающий столбец, соответствующий наибольшему по модулю отрицательному элементу в индексной строке.
2. Выбирается разрешающая строка, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца стоит разрешающее число.
3. Элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число.
4. Вычисляются элементы всех остальных строк по формуле:

Новые эл-ты = старые эл-ты -

С каждым последующим симплексным  преобразованием значение целевой  функции будет увеличиваться. При  этом:

1) Если в индексной  строке найдется хотя бы один  отрицательный элемент и

• в разрешающем столбце найдется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение;
• разрешающий столбец не содержит положительных элементов, то целевая функция неограниченно возрастает.

2) Если все элементы  индексной строки неотрицательны, то достигнуто оптимальное решение.

Это и есть достаточные  условия существования оптимального плана решения.

     В нашем случае: наибольшее по модулю отрицательное число в индексной строке стоит в 2 столбце, следовательно разрешающий столбец 2. Разрешающая строка 2.

Вводим в базис  вместо .

	х1	х2	x3	x4	x5	B
x3		0	1		0	30
х2		1	0		0	5
x5	2	0	0		1	8
Инд.строка		0	0		0	105