Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

 

Решение не является оптимальным, т. к. в индексной строке есть отрицательные  элементы.

    Наибольшее по  модулю отрицательное число в  индексной строке стоит в 1 столбце, следовательно разрешающий столбец 1. Разрешающая строка 3.

Вводим в базис  вместо .

	х1	х2	x3	x4	x5	B
x3	0	0	1			12
х2	0	1	0			4
х1	1	0	0			4
Инд.строка	0	0	0			112

 

Данное решение является оптимальным, т. к. в индексной строке отсутствуют отрицательные элементы.

В итоге получаем:

  - базисные переменные

- свободные переменные

Ответ: Максимальная прибыль в 112 у.е. будет достигаться при следующем плане выпуска: 4 единицы товара и 4 единицы товара .

 

Таким образом, и геометрический и симплексный  метод дали нам один и тот же результат, что доказывает правильность решения.

 

 

 

Задание № 3.

Разложить в ряд Фурье  по синусам функцию  на отрезке

Теоретическая часть:

Определение. Функциональный ряд вида 

называется тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a₀, a_n, и b_n (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.

Если дана периодическая  функция  f(x) с периодом 2π, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-π, π): .

При этом коэффициенты Фурье  находят по формулам:

,  ,

Ряд Фурье для  функции с периодом 2l.

Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Тогда при разложении ее в ряд Фурье получим формулу: , где коэффициенты  a₀, a_n, и b_n вычисляются по формулам: ,

,  .

О разложении в  ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке  задана кусочнo-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию с периодом , совпадающую с функцией f(x) на отрезке . Разложим функцию в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), т.е. мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке .

Рассмотрим, далее, следующий  важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы продолжим определение функции f(x) при так: f(x) = , то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) “продолжена нечетным образом”).

Решение:

Разложим исходную функцию  f (x) в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 1]. 

 Найдем коэффициенты  Фурье:

а₀=0

а_n=0

В итоге получаем:

Ответ:

а) Нарисовать график функции ƒ(x) на отрезке [0;1]

Теоретическая часть :

     Определение. Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке ,  если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на  интервалы так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Решение:

b) Написать, к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [0,1].

Теоретическая часть:

Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если: функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода; функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

Теорема Дирихле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2π удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x₀ разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x→x₀ слева и справа, т.е.:

S(x) = 0,5[f(x₀ + 0)+f(x₀ - 0)]

Решение:

Ряд сходится к  , т.к. S(0)=S(1)=

c) Нарисовать график суммы ряда на отрезке .

d) Пользуясь равенством Парсеваля найти сумму: .

Теоретическая часть:

Для функции f(x), такой, что f²(x)ÎL(-p;p), справедливо равенство Парсеваля:

Решение:

Ответ: .

 

 

Задание № 4.

Найти линейную комбинацию функций  , дающую наилучшее приближение по норме функции на отрезке

[0;1].

Теоретическая часть:

Определение. Скалярным  произведением двух кусочно-непрерывных на функций будем называть интеграл .

Определение. Величина называется нормой функции f.

 

Определение. Система кусочно-непрерывных на отрезке [a, b]  функций (конечная или бесконечная) называется ортогональной, если при любых n ≠ k выполняется равенство

(т.е. функции попарно ортогональны) и функции имеют положительную  норму.

 Пусть функция  f(x), определенная на отрезке [a, b], такова, что: .  При этом:

Коэффициенты  , вычисленные по данной формуле называют коэффициентами Фурье функция f(x) по системе ортогональных функций. А ряд называют рядом Фурье функция f(x)  по ортогональной системе функций.

Теорема. Если система функций φ₁(x), φ₂(x), …, φ_n(x)  ортонормированна( ), то для любой функции f  норма среди всевозможных систем чисел достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами т.е. для коэффициентов Фурье функции  f.

Решение:

=1

=x+5

=

Построим ортогональную  систему функций  на основе .

   

Система функций: – ортогональная система на отрезке [0;1].

Наилучшее приближение по норме функции f(x) даёт линейная комбинация: ,  где – коэффициенты Фурье.

 

В итоге получаем:

Ответ: .

 

 

Задание № 5.

Найти объем тела, ограниченного  поверхностями:

а)                      б)

Теоретическая часть:

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y ,z), где x, y ,z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y ,z) 0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем область V произвольным образом на области , обозначая символом не только самую область, но и её объём. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y ,z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек , обозначается символом   (2) и называется тройным интегралом.

Если подынтегральная  функция f(x, y ,z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:

Декартовы прямоугольные  координаты

Вычисление тройного интеграла  в декартовых прямоугольных координатах  сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов. Если область интегрирования ограничена снизу и сверху соответственно поверхностями: а с боков –  прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости

X0Y является область D, то:

вычисление начинаем с  внутреннего интеграла по переменной z, считая переменные x и y константами, а затем вычисляем двойной интеграл по проекции области V на плоскость X0Y.

Сферические координаты

Пусть

где    – радиус-вектор точки М, т.е. – расстояние от точки М до начала координат:

 φ – угол между положительными направлением оси 0X и лучом ( – проекция точки М на плоскость X0Y), ; θ – угол между положительным направлением оси 0Z и радиус-вектором точки М (лучом ОМ), .

Тогда модуль якобиана: .

В сферических координатах:

Цилиндрические  системы координат

 

Решение:

а)                     

x=0, то -парабола (1)       

x=0, то -парабола (2)

Перейдем к цилиндрическим координатам

Перейдем к цилиндрическим координатам в уравнениях параболоидов.

-нижний предел

- верхний предел - сложное выражение для вычисления интеграла.

Возьмем за верхний предел по z прямую z=y и удвоим интеграл.

Ответ: 108 .

Решение:

б)

z=0 (1)

x=1(2)

Найдем пределы интегрирования по у:

-нижний предел

-верхний предел

Ответ: .

 

Задание № 6.

Найти частное решение  системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее данным начальным  условиям (операторным методом):

Теоретическая часть:

Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция действительной переменной t, удовлетворяющая приведенным ниже условиям.

1. на любом отрезке функция имеет лишь конечное число точек разрыва, причем только первого рода.
2. =0 при t< 0; .
3. растет при не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные и , что   для всех t>0.

Точная нижняя грань чисел  , для которых имеет место последнее неравенство, т.е. величина , называется показателем роста функции .

Преобразование  Лапласа (или изображением) функции-оригинала называется функция F(p), определяемая формулой: , где p – комплексная переменная.

Если F(p) есть изображение функции , то пишут: .

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными  коэффициентами

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ)

                             

с начальными условиями

                                                                                  

Считаем, что  , а функция и решение x(t) вместе с его производными до n-го порядка включительно являются оригиналами.

Обозначим:

Тогда применяя к обеим  частям уравнения преобразование Лапласа  и пользуясь его свойствами линейности и дифференцирования оригинала, получаем операторное уравнение:

 

Перегруппировав слагаемые, можно записать операторное уравнение  в виде:

 где A(p) - характеристический многочлен, определяемый формулой:

Решая операторное уравнение  относительно X(p), получаем операторное решение:

Найдя теперь оригинал для  X(p), мы получим искомое решение x(t).

 

Решение система  линейных дифференциальных уравнений  с постоянными коэффициентами.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются операторным методом аналогично тому, как решаются ЛДУ, с тем лишь отличием, что вместо одного операторного уравнения получается система операторных  уравнений, линейных относительно изображений  искомых функций.