Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку, и при этом

 
 
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка. 
 
Точки разрыва и их типы 
 
Определение 2. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена. 
 
Определение 3. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные односторонние пределы. При этом разность

f(a + 0) - f(a - 0)

 
 
называется скачком функции в  точке х = а. 
 
Определение 4. Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен . 
 
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то функции f(x) ± g(x), f(x) • g(x), , где g(a) 0 также непрерывны в этой точке. 
 
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, а функция g(y) непрерывна в точке у = b, b = f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х = а. 
 
Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.