Пределы последовательности и функции. Непрерывность и разрывы функций

Альфа и бета - первое и второе числа из варианта по линейке. 
Например, по линейке 19 вариант, следовательно альфа=1, бета=9. 
Например, по линейке 8 (т.е. 08) вариант, следовательно альфа=0, бета=8.

 

Пределы последовательности и функции.

Непрерывность и разрывы функций.

 

Пределы последовательностей и функций.

Справочный материал.

Необходимые формулы:

Рекомендации:

- неопределенность  раскрывается с помощью деления числителя и знаменателя на старший член выражения и использования пределов:

- неопределенность  при  х → а  в алгебраических выражениях раскрывается разложением на множители числителя и знаменателя и сокращения множителей (х - а);

- неопределенность  в тригонометрических выражениях раскрывается с помощью первого замечательного предела ;

- неопределенность  раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Примеры решения задач.

Найти пределы последовательностей и функций:

а) / делим на числитель и знаменатель / 

б)  

 ,  делим на числитель и знаменатель /

;

в) , разложим числитель и знаменатель на множители /     ;

г)

 

;

д) , воспользуемся I замечательным пределом /  =

;

е) , сделаем замену  /  =

;

ж) , приведем к II замечательному пределу / 

;

 

з)

.

Точки непрерывности и точки разрыва функции.

Справочный материал.

Необходимые понятия:

- левосторонний предел 

- правосторонний предел

- функция  непрерывна в точке х = а, если она в ней определена и

- функция  разрывная в точке х = а, если хоть одно из условий не выполняется;

- функция  имеет разрыв первого рода, если существуют оба односторонних предела, но (такой вид разрыва называется скачком), либо или не определена в х = а (такой вид разрыва называется устранимым);

- функция  имеет разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞.

 

Примеры решения задач.

Найти возможные точки разрыва функций, определить их характер и изобразить на схематическом чертеже поведение функций в окрестности точек разрыва:

а)

В интервалах (− ∞; 0), (0; 1) и (1; +∞) как элементарная функция в своей области определения.

Исследуем возможные точки разрыва :

 

  в точке   х1 = 0   имеет разрыв I рода (скачок);

   в точке   х2  = 1 непрерывна.

б)

  не определена при х = 3, то есть имеет в этой точке разрыв.

в точке х = 3 имеет разрыв II рода.

в)

  не существует при   х = 1 и при

- точки разрыва функции, исследуем  их.

в точке х1 = 1 разрыв I рода.

в точке х2 = 2 разрыв II рода.

 

Производные функций и их приложения.

 

Вычисления производных.

Справочный материал.

 

Таблица производных элементарных функций:

Правила дифференцирования:

Приемы дифференцирования:

- логарифмическая производная: из  дифференцируя получим

- производная неявно заданной функции: если функция   у = у(х) задана уравнением   F (х, у) = 0   то при подстановке у = у(х) получим тождество F (х, у(х)) = 0. Дифференцируем это тождество и выражаем у′(х);

- производная функции, заданной  параметрически: если у = у(х) задана системой   то 

Примеры нахождения производных.

Найти производные у′(х) функций:

а)         

б)

в) ;

г)

д)   .     Прологарифмируем функцию

;

е) . Логарифмируем функцию

;

ж)    .   Дифференцируем, предполагая, что   у = у(х)

.   Выразим  

;

з)      .

 

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Справочный материал:

- если функция  непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения ;

- для нахождения  M и m достаточно найти критические точки х1, х2, … внутри отрезка [a, b] и выбрать M и m сравнением значений , ,… и , ;

- критические точки находятся  из уравнения  или из условий не существования и непрерывности в этих точках.

Пример.    Найти наибольшее и наименьшее значения функции   на      не существует при   х1 = 0 – это критическая точка так как   при х = 0 непрерывна.   ,

.   Найдем значения:

.

 

Исследование функции на экстремум.

Справочный материал:

- из необходимых условий экстремума  и не существует, но непрерывна, находятся критические точки   х1, х2, …;

- с помощью знака производной  устанавливается наличие и вид экстремума:

   в     в   ,   в     нет экстремума.

 

Примеры.

а)    исследовать функцию   на экстремумы. Область определения   .

  не критическая так как    в ней не существует.

   критическая точка.

 

 

Знак

  .

б) Из квадратного листа картона изготавливается коробка без крышки следующим образом:

Найти наибольший объем и соответствующие размеры коробки, если длина стороны заготовки равна  60 см.

Объем коробки   .   Пусть   a = x, тогда .

Исследуем V(х) на экстремумы.

знак  

 

 

 

  при этом  a = 40 см ,

h = 10 см.

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

 Пределы последовательностей  и функций. Непрерывность и разрывы функций

Найти пределы последовательностей и функций:

;

;

;

.

Определить характер точек разрыва x1=0 и x2=10-β функции

Изобразить на схематическом чертеже поведение функции в окрестности точек разрыва.

 

 

 

 

Производные функций и их приложения

Найти производные функций

а)  ;

б) ;

в)

г)

 

Найти наименьшее и наибольшее значение функции

 

  f(x)=2x3-3(α-β)x2-6(10-α)(10-β)x+α+β на отрезке [0;10].

 

Сооружается бассейн с квадратным дном объемом 4(10-β)3 м3. Найти наименьшее значение площади облицовываемой поверхности и соответствующие ей размеры бассейна.