Контрольная работа по "Вычислительной математике"
Контрольная работа, 29 Марта 2013, автор: пользователь скрыл имя
Описание работы
1. Определить, какое равенство точнее.
2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.
1. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:
а) в узком смысле; б) в широком смысле.
Содержание работы
Задание 1 (переделано): 2
Задание 2 (переделано): 7
Задание №3 (переделано) 11
Задание №4 (переделано). 13
Задание №5 (исправлено) 18
Задание №6+ 24
Задание №7 (внесены уточнения) 28
Задание №8+ 31
Задание №9+ 32
Задание №10(переделано) 35
Задание № 11+/- 37
Задание № 12+/- 40
Примечание: 43
Файлы: 1 файл
Вычислительная математика вариант 21 решение исправлено.doc
— 3.56 Мб (Скачать файл)сложением уравнений со вторым, умноженным соответственно на
1,552 |
0,432 |
-0,599 |
0,202 |
1,941 |
0,000 |
1,496 |
0,510 |
-0,625 |
-0,483 |
0,000 |
0,000 |
1,195 |
0,664 |
-1,073 |
0,000 |
0,000 |
0,614 |
1,195 |
-0,542 |
сложением 4-го уравнения с третьим, умноженным соответственно на
1,552 |
0,432 |
-0,599 |
0,202 |
1,941 |
0,000 |
1,496 |
0,510 |
-0,625 |
-0,483 |
0,000 |
0,000 |
1,195 |
0,664 |
-1,073 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,854 |
0,009 |
Т.о. получаем, что:
Т.е.
- Метод Якоби c точностью e=10-3.
где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули, E — единичная матрица. Тогда процедура нахождения решения имеет вид:
где k счётчик итерации. Условие окончания итерационного процесса при достижении заданной точности имеет вид:
Итак, матрица D
1,552 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,552 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,552 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,552 |
Матрица
0,644 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,644 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,644 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,644 |
Матрица
0 |
-0,432 |
0,599 |
-0,202 |
-0,202 |
0 |
-0,432 |
0,599 |
0,599 |
-0,202 |
0 |
-0,432 |
-0,432 |
0,599 |
-0,202 |
0 |
Матрица:
0,000 |
-0,278 |
0,386 |
-0,130 |
-0,130 |
0,000 |
-0,278 |
0,386 |
0,386 |
-0,130 |
0,000 |
-0,278 |
-0,278 |
0,386 |
-0,130 |
0,000 |
Вектор
1,251 |
-0,148 |
-1,251 |
0,148 |
А далее переходим к итерациям:
Шаг |
Xk |
BX+g |
Xk+1 |
погрешность |
1 |
1,000 |
-0,386 |
0,865 |
|
0,000 |
0,148 |
0,000 |
||
-1,000 |
0,386 |
-0,865 |
||
0,000 |
-0,148 |
0,000 |
||
2 |
0,865 |
-0,334 |
0,917 |
0,135 |
0,000 |
0,128 |
-0,020 |
0,000 | |
-0,865 |
0,334 |
-0,917 |
-0,135 | |
0,000 |
-0,128 |
0,020 |
0,000 | |
Шаг |
Xk |
BX+g |
Xk+1 |
погрешность |
3 |
0,917 |
-0,351 |
0,900 |
-0,052 |
-0,020 |
0,144 |
-0,005 |
0,020 | |
-0,917 |
0,351 |
-0,900 |
0,052 | |
0,020 |
-0,144 |
0,005 |
-0,020 | |
4 |
0,900 |
-0,347 |
0,904 |
0,017 |
-0,005 |
0,135 |
-0,013 |
-0,015 | |
-0,900 |
0,347 |
-0,904 |
-0,017 | |
0,005 |
-0,135 |
0,013 |
0,015 | |
5 |
0,904 |
-0,347 |
0,904 |
-0,004 |
-0,013 |
0,139 |
-0,009 |
0,009 | |
-0,904 |
0,347 |
-0,904 |
0,004 | |
0,013 |
-0,139 |
0,009 |
-0,009 | |
6 |
0,904 |
-0,347 |
0,903 |
0,000 |
-0,009 |
0,137 |
-0,011 |
-0,004 | |
-0,904 |
0,347 |
-0,903 |
0,000 | |
0,009 |
-0,137 |
0,011 |
0,004 | |
7 |
0,903 |
-0,347 |
0,904 |
0,000 |
-0,011 |
0,138 |
-0,010 |
0,002 | |
-0,903 |
0,347 |
-0,904 |
0,000 | |
0,011 |
-0,138 |
0,010 |
-0,002 | |
8 |
0,904 |
-0,347 |
0,903 |
0,000 |
-0,010 |
0,138 |
-0,010 |
-0,001 | |
-0,904 |
0,347 |
-0,903 |
0,000 | |
0,010 |
-0,138 |
0,010 |
0,001 | |
9 |
0,903 |
-0,3471 |
0,904 |
0,000 |
-0,010 |
0,1379 |
-0,010 |
0,000 | |
-0,903 |
0,3471 |
-0,904 |
0,000 | |
0,010 |
-0,1379 |
0,010 |
0,000 |
Т.о.
X10 | |
|
X1 |
0,904 |
X2 |
-0,010 |
X3 |
-0,904 |
X4 |
0,010 |
Или:
ОТВЕТ:
Задание №5 (исправлено)
Тема. Интерполяционный многочлен.
Задание: Для заданной функции y=f(x) на [a, b] построить интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) (n=5) и интерполяционный многочлен Ньютона Pn(x) (n=7) для равноотстоящих узлов. Построить графики функции и многочленов.
Номер варианта |
f(x) |
a |
b |
21 |
|
-1 |
4 |
РЕШЕНИЕ:
- построить интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) (n=5)
n |
a |
b |
5 |
-1 |
4 |
H= | ||
|
1 | ||
Номер шага |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y= |
-0,33333 |
0 |
0,333333 |
0,222222 |
0,157895 |
0,121212 |
Коэффициенты:
Интерполяционная формула Лагранжа позволяет представить многочлен в виде линейной комбинации значений функции в узлах интерполирования
(1.4)
Найдем явное выражение для коэффициентов . Из условий интерполирования (1.3) получаем
Эти соотношения будут выполнены, если на функции наложить условие
Они означают, что каждая из функций ,
Имеет не менее нулей на . Поскольку многочлен степени , коэффициенты естественно искать также в виде многочлена степени , а именно в виде
Из условия находим
Таким образом, коэффициенты интерполяционного многочлена (1.4) находятся по формулам
(1.5)
Найдем :
|
|
-120 |
|
|
24 |
|
|
-12 |
|
|
12 |
|
|
-24 |
|
|
120 |
Тогда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е.
Тогда получаем, что:
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y |
-0,333333 |
0 |
0,333333 |
0,222222 |
0,157895 |
0,121212 |
L |
-0,333333 |
0 |
0,333333 |
0,222222 |
0,157895 |
0,121212 |
- интерполяционный многочлен Ньютона Pn(x) (n=7) для равноотстоящих узлов
n |
a |
b |
7 |
-1 |
4 |
H |
||
0,714285714 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 | |
x |
-1,000 |
-0,286 |
0,429 |
1,143 |
1,857 |
2,571 |
3,286 |
4,000 |
y |
-0,333 |
-0,246 |
0,313 |
0,316 |
0,235 |
0,181 |
0,145 |
0,121 |
Разделенными разностями первого порядка называются отношения
Рассмотрим разделенные разности, составленные по соседним узлам, т.е. выражения . По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка.
Определение 1.3 Разделенными разностями второго порядка называются отношения
Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка.
При вычислении разделенных разностей принято записывать их в таблицы
|
|
|||||
· |
|||||
· |
· |
… |
|||
|
· |
· |
· |
· |
||
· |
· |
· |
|||
|
· |
· |
||||
|
|