Контрольная работа по "Вычислительной математике"

 

 

Оглавление

 

 

 

Элементарная теория погрешностей

Задание 1 (переделано):

Вариант №21.

 

1. Определить, какое равенство точнее.

; 
.

 

РЕШЕНИЕ:

 

1,88888889-2,11= - 0,22111111

– отрицательное, поэтому возьмем 

2,11-1,88888889=0,104791996=

Далее:

 

4,123105626-4,12=0,003105626=

Теперь найдет относительные погрешности:

 

 

поскольку d(L) >d( d ) то второе равенство является более точным.

 

ОТВЕТ:

второе равенство является более  точным

 

 

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

 

а) в  узком смысле;

б) в  широком смысле.

Определить  абсолютную погрешность результата.

а) 5.8425; d=0.23%

б) 0.66385±0.00042

РЕШЕНИЕ:

а) 5.8425; d=0.23%

а) в узком смысле

Абсолютная  погрешность числа: = 5,8425*0,0023= 0,013438

Говорят, что n  первых значащих цифр приближенного  числа являются верными в узком  смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единица разряда выражаемого n–ой значащей цифрой, считая слева направо. Остальные значащие цифры числа называются сомнительными.

Таким образом, если

,

то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.

Для числа A = 5.8425, a=5.8425+0,013438=5,855938

 число a = 5,9 является приближением с двумя верными знаками.

б) в широком смысле:

Абсолютная  погрешность числа: = 5,8425*0,0023= 0,013438

Число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если его абсолютная погрешность D не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо, т.е.

то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.

Для числа A = 5.8425, a=5.8425+0,013438=5,855938

 число a = 5,9 является приближением с двумя верными знаками.

 

Определить  абсолютную погрешность результата

Абсолютная  погрешность числа: = 0,0575

б) 0.66385±0.00042

 

а) в  узком смысле

Абсолютная  погрешность числа: = 0,00042

Говорят, что n  первых значащих цифр приближенного  числа являются верными в узком  смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единица разряда выражаемого n–ой значащей цифрой, считая слева направо. Остальные значащие цифры числа называются сомнительными.

Таким образом, если

,

то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.

Для числа A = 0.66385, a=0.66385+0.00042=0,66427

 число a = 0,664 является приближением стремя верными знаками.

б) в широком смысле:

Абсолютная  погрешность числа: = 0,00042

Число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если его абсолютная погрешность D не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо, т.е.

то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.

Для числа A = 0.66385, a=0.66385+0.00042=0,66427

 число a = 0.664 является приближением с тремя верными знаками.

Определить абсолютную погрешность  результата

Абсолютная  погрешность числа: 0,664-0,66358=0,00042

ОТВЕТ:

а) а₁ = 5,9; а₁ = 5,9; 0,0575;

b) а₁ = 0,664; а₁ = 0,664; 0,00042

 

3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:

а) в  узком смысле;

б) в  широком смысле.

а) 0.3825; б) 24.6

 

РЕШЕНИЕ:

а) 0.3825;

а) в  узком смысле;

Значит предельная абсолютная погрешность – 0,00005 (половина разряда значащей цифры). Т.е

Предельная  относительная погрешность в  этом случае равна:

 

б) в  широком смысле.

Значит предельная абсолютная погрешность – 0,0001 (единица разряда значащей цифры). Т.е

Предельная  относительная погрешность в  этом случае равна:

 

 

б) 24.6

а) в  узком смысле;

Значит предельная абсолютная погрешность – 0,05 (половина разряда значащей цифры). Т.е

Предельная относительная  погрешность в этом случае равна:

 

б) в  широком смысле.

Значит предельная абсолютная погрешность – 0, 1 (единица разряда значащей цифры). Т.е

Предельная относительная  погрешность в этом случае равна:

ОТВЕТ:

а)

; ; ;

b) ;

 

Задание 2 (переделано):

Вычислить и определить погрешность результата.

21

p=3.14    D=72±0.3 d=3.274±0.002

p=3.14     D=52.6±0.01    d=48.39±0.001

 

РЕШЕНИЕ:

1. Соответственно:

Найдем погрешность  результата:

 

 

Предельная  относительная погрешность m-ой степени числа в m раз больше предельной относительной погрешности самого числа, т.е. если , то

 (23)

Зная предельную относительную погрешность du степени u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле

 (24)

Тогда:

 

 

Предельная  относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя, т.е., если  , то

 (21)

Зная предельную относительную погрешность du частного u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле

 (22)

 

 

Предельная  относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных  погрешностей множителей, т.е.

 (19′)

Зная предельную относительную погрешность du произведения u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле

Т.о.

 

2. Соответственно:

72,30533125

 

Найдем погрешность  результата:

 

 

Предельная  относительная погрешность m-ой степени числа в m раз больше предельной относительной погрешности самого числа, т.е. если , то

 (23)

Зная предельную относительную погрешность du степени u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле

 (24)

Тогда:

 

 

Тогда:

Предельная  абсолютная погрешность разности равна  сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т.е. если , тогда

 (17)

Предельная  относительная погрешность разности определяется формулой

 (18)

 

Предельная  относительная погрешность коня m-ой степени в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа, т.е. если , то

 (25)

Предельная  относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных  погрешностей множителей, т.е.

 (19′)

Зная предельную относительную погрешность du произведения u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле

Т.о.

 

 

ОТВЕТ:

 

 

Задание №3 (переделано)

 

Задание: Решить уравнение f(x)=0 с точностью e=10^-3 следующими методами:

Вариант 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 - Метод хорд

 

21

 

РЕШЕНИЕ:

 

 

 

 

 

 

Уравнение хорды AB будет иметь вид

Для точки пересечения хорды  с осью Ox получаем

Поэтому в качестве начального приближения  в методе хорд берется конец отрезка противоположный закрепленному, т.е.

если  , тогда и последовательные приближения вычисляются по правилу

, (16.1)

 

Тогда

	x	f(x)	ͤ
0	2,000	1,525440854
1	1,708	0,808165881	0,292
2	1,566	0,438301075	0,142
4	1,492	0,243696058	0,073
5	1,453	0,137684112	0,040
6	1,431	0,078532762	0,022
7	1,418	0,045042564	0,012
8	1,411	0,025917196	0,007
9	1,407	0,014940259	0,004
10	1,405	0,008621713	0,002
11	1,403	0,004978494	0,001
12	1,402	0,002875794	0,001
13	1,402	0,001661527	0,000

 

Т.о.

При f(x)=0

ОТВЕТ:

 

Задание №4 (переделано).

Задание:

Найти решение системы  Ax=b методом Гаусса (вычисления вести с тремя знаками после запятой).

Найти приближенное решение системы итерационным методом c точностью e=10^-3.

Метод	Вариант	Итерационный  параметр
метод Якоби	1, 9, 7, 25, 5, 13, 21, 29

 

Матрица системы  определяется формулой

A=D+kC, где k – номер варианта=21,

 

, ,

k=21.

РЕШЕНИЕ:

1. Найти решение системы  Ax=b методом Гаусса (вычисления вести с тремя знаками после запятой).

Найдем матрицы, с которыми будем работать:

 

1,552	0,432	-0,599	0,202
0,202	1,552	0,432	-0,599
-0,599	0,202	1,552	0,432
0,432	-0,599	0,202	1,552

 

 

 

Далее используем метод Гаусса:

A				b
1,552	0,432	-0,599	0,202	1,941
0,202	1,552	0,432	-0,599	-0,230
-0,599	0,202	1,552	0,432	-1,941
0,432	-0,599	0,202	1,552	0,230

сложением уравнений с первым, умноженным соответственно на

1,552	0,432	-0,599	0,202	1,941
0,000	1,496	0,510	-0,625	-0,483
0,000	0,369	1,321	0,510	-1,192
0,000	-0,719	0,369	1,496	-0,310