Классификация игр в теории игр

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Булдакова Елена, Кировский филиал МГЭИ (факультет Экономики и управления, 2 курс).

Классификация игр в теории игр

Научный руководитель: Зорина Л.Г., старший преподаватель кафедры информатики и математики (Кировский филиал МГЭИ).

В настоящее время огромный интерес привлекает теория игр, которая, с одной стороны, наряду с математическими  моделями общего равновесия и теорией  социального выбора, сыграла ключевую роль в создании современной экономической  теории, а с другой, является одним  из важнейших инструментов анализа  огромного многообразия задач, возникающих  не только в экономике, но и политике, социальных науках, военном деле, биологии и др.

         Суть теории игр ( с экономической точки зрения) в том, чтобы помочь экономистам понимать и предсказывать то, что может происходить в экономических ситуациях, и сейчас вряд ли можно найти область экономики или дисциплины, связанной с экономикой, где основные концепции теории игр не были бы просто необходимыми для понимая современной экономической литературы.

         В настоящий момент, если говорить  об экономических приложениях,  речь идёт уже не только  о применении теоретико-игровых  методов к ставшим достаточно  традиционными проблемам теории  организации промышленности, но  и, по сути дела, ко всему  многообразию экономической проблематики. Теорию игр следует понимать  как инструмент экономического  анализа, который:

1.     Даёт ясный  и точный язык исследования  различных экономических ситуаций;

2.     Даёт возможность  подвергать интуитивные представления  проверке на логическую согласованность;

3.     Помогает  проследить путь от « наблюдений»  до основополагающих предположений  и обнаружить, какие из предположений  действительно лежат в основе  частных выводов.

Классификация игр

1. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими.
2. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной - более двух.
3. Кооперативные и некооперативные

Игра называется коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что  кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это  неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные  описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают  процесс игры в целом.

4. Дискретные и непрерывные игры

Большинство изучаемых игр  дискретны: в них конечное число  игроков, ходов, событий, исходов и  т. п. Однако эти составляющие могут  быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут  быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в  теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

5. С полной или неполной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают  все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные  стратегии противников, что позволяет  им в некоторой степени предсказать  последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство  изучаемых в математике игр -- с неполной информацией.

6. С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игры с нулевой суммой -- особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе.

Многие изучаемые математиками игры, иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где  каждый участник извлекает выгоду. Сюда также относятся го, шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.

Конечная парная игра с  ненулевой суммой называется биматричной  игрой. Такая игра описывается двумя  платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.

Подробнее бесконечную антагонистическую  игру рассмотрим на примере:

Игрок 1 выбирает х∈X = (0; 1), игрок 2 выбирает y∈Y = (0; 1). После этого игрок 1 получает сумму M(x, y) = x + y  за счёт игрока 2. Поскольку Х и Y - открытые интервалы, то на них V1 и V2 не существуют. Если бы Х и Y были замкнутые интервалы, то, очевидно, было бы следующее : V1 = V2 = 1 при xo = 1, yo = 0.

С другой стороны, ясно, что, выбирая х достаточно близкое  к 1, игрок 1 будет уверен, что он получит  выигрыш не меньше, чем число, близкое  к цене игры V = 1; выбирая y близкое  к нулю, игрок 2 не допустит, чтобы  выигрыш игрока 1 значительно отличался  от цены игры V = 1.

Степень близости к цене игры может характеризоваться числом ε > 0. Поэтому в описываемой игре можно говорить об оптимальности  чистых стратегий хo = 1, yo = 0 соответственно игроков 1 и 2 с точностью до произвольного числа ε > 0.

7. Симметричные и несимметричные

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при всём этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков -- симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».

8. Параллельные и последовательные

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней  мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают  свой ход. В последовательных, или  динамических, играх участники могут  делать ходы в заранее установленном  либо случайном порядке, но при всём этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может  узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и  социальных наук. В экономике она  применима не только для решения  общехозяйственных задач, но и для  анализа стратегических проблем  предприятий, разработок организационных  структур и систем стимулирования.

Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое  поведение”, многие предсказали революцию  в экономических науках благодаря  использованию нового подхода. Эти  прогнозы нельзя было считать излишне  смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при  принятии решений во взаимосвязанных  ситуациях, что характерно для большинства  актуальных проблем в экономических  и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр  и непосредственно связаны с  управленческими задачами.