Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Февраля 2014 в 20:21, аттестационная работа
Актуальність та завдання наукового дослідження. В наш час все більшого значення набуває визначення зміни положення точок земної поверхні, які спричиняються глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявляються в рухах Землі, переміщенням літосферних плит, нерівномірності обертання Землі, переміщення полюсів та центра мас. Вивчення спотворень площ земельних ділянок особливо актуально в цей час в зв’язку з проведенням земельної реформи. Сферичні координати широко використовуються для визначення положення тіл у просторі. Наприклад, у навігації при визначенні місця знаходження літака, корабля тощо, в астрономії при визначенні положення зірок та інших небесних тіл, в географії при визначенні положення об’єктів на поверхні Землі і т.д.
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Головне управління освіти і науки Київської облдержадміністрації
Київське обласне територіальне відділення МАН України
Відділення: математика
Секція: прикладна математика
ГЕОМЕТРІЯ СФЕРИ ЕВКЛІДОВА ПРОСТОРУ
Роботу виконала:
Ярмоленко Вікторія Валеріївна
учениця 42 групи
Білоцерківського
економіко-правового ліцею
Науковий керівник:
Ільченко Тетяна Анатоліївна,
вчитель математики
Рецензент:
Лісовська Валентина Петрівна
Біла Церква – 2013
Відділення: математика
Секція: прикладна математика
Автор:
Ярмоленко Вікторія Валеріївна
учениця 11 класу
Білоцерківського економіко-правового ліцею
Науковий керівник:
Ільченко Тетяна Анатоліївна,
вчитель математики
Білоцерківського економіко-правового ліцею
Актуальність та завдання наукового дослідження. В наш час все більшого значення набуває визначення зміни положення точок земної поверхні, які спричиняються глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявляються в рухах Землі, переміщенням літосферних плит, нерівномірності обертання Землі, переміщення полюсів та центра мас.
Вивчення спотворень площ земельних ділянок особливо актуально в цей час в зв’язку з проведенням земельної реформи.
Сферичні координати широко використовуються для визначення положення тіл у просторі. Наприклад, у навігації при визначенні місця знаходження літака, корабля тощо, в астрономії при визначенні положення зірок та інших небесних тіл, в географії при визначенні положення об’єктів на поверхні Землі і т.д.
Основними завданнями є розробка теоретичних та практичних основ визначення відстаней між точками на Земній кулі, побудова земної системи геодезичних координат та зв’язок їх з сферичними.
Мета дослідження є теоритичне обгрунтування та засоби практичної реалізації основних понять сферичної геометрії.
Висновок та одержані результати. Застосували теорему косинусів для розв’язування стереометричних задач як обчислювального, так і теоретичного характеру. Отримані результати відстані між об’єктами порівняно з довідниковими даними. Відносна похибка обчисленої нами відстані дорівнює 0,5%.
ЗМІСТ
Перші згадки про кулеподібність Землі виникли у VI - V ст. до н.е. Вони з’явились у результаті астрономічних спостережень. Ще стародавні елліни вважали коло та сферу ідеальними формами. Форму кулі має і наша планета та більшість комічних тіл. А так як планети, Сонце, Місяць та зірки рухаються по уявній «небесній сфері», то обов’язковими для вивчення їх руху необхідні були знання сферичної геометрії.
Вимірювання великих відстаней на поверхні Землі виявляється не такою простою справою, як може здатись на перший погляд. Однак, земна поверхня не рівна. Одні її точки розміщені вище, інші нижче.
В процесі розв’язання завдань практичного характеру і, в першу чергу, завдань з астрономії виникла сферична геометрія. Ці знання були необхідні насамперед мандрівникам і мореплавцям, які орієнтувались за зірками.
Ділянки земної поверхні невеликих розмірів (порівняно з радіусом Землі) можна вважати практично плоскими, і для їх математичного вивчення цілком придатна планіметрія. Земні ж ділянки великих розмірів (довжиною в сотні і тисячі кілометрів) вже не можна вважати плоскими і тому для дослідження таких ділянок потрібна саме сферична геометрія.
В наш час існують різні науки в основі яких лежить сферична геометрія.
Дані про сферу були необхідні і при вирішенні звичайних завдань – обчисленні географічних координат, для складання географічних карт, для знаходження курсу корабля.
Наприклад, математична картографія вивчає способи відображення поверхні Землі на площині. Оскільки поверхня Землі (приблизно сферична) має кінцеву кривизну, її не можна відобразити на площині із збереженням всіх просторових відношень одночасно: кутів між напрямками, відстаней і площ поверхонь. Можна зберегти тільки деякі з цих співвідношень.
Тепер можна точніше сформулювати основну мету та завдання роботи: розробка теоретичних та практичних основ визначення площ ділянок поверхні сфери по координатам їх вершин.
Об’єктом дослідження є:
Предмет дослідження – багатокутники на сфері, сферичні трикутники.
Основою даної роботи є побудова земної системи геодезичних координат, теоретичного дослідження наземних вимірювань.
Змістова складова матеріалів визначається системою завдань – вивчення теоретичних питань сферичної геометрії, порівняння фігур на площині та фігур на сфері, їхніх властивості, розгляд розв’язоків задач навігації.
Ми дослідили зв’язок географічних і сферичних координат, показали їх практичне застосування на основі поданих задач. Завдання, запропоновані нами, сприяють поглибленню знань учнів, що робить процес навчання математики більше ефективним і цікавим.
Однією з основних задач в землеустрої є визначення площ окремих земельних ділянок. Завжди важливим також було забезпечення необхідної точності обчислення площ значних територій – населених пунктів, районів, областей тощо.
Традиційна методика визначення площі ділянки пов’язана з її проектуванням на площину, при якому виникають спотворення, що залежать від обраної проекції та системи координат, положення та розміру ділянки, відхилення проекцій геодезичних ліній від сторін ділянки на площині та інших факторів. Тому обчислена площа земельної ділянки може суттєво відрізнятися від фактичної. Особливо це стосується площ великих територій, коли неможливо досягнути необхідної точності без врахування цих спотворень.
Вивчення спотворень площ земельних ділянок особливо актуально в цей час в зв’язку з проведенням земельної реформи.
Думаю, що зібраний нами матеріал можна використовувати в якості основи для елективного курсу в класах фізико-математичного профіля, при підготовці до олімпіад з математики, а також на позакласних заняттях для розширення кругозору учнів.
Першою за часом геометрією, відмінною від евклідової, була сферична геометрія, або сферика, як її називали стародавні жителі. Сферика виникла пізніше, ніж евклідова геометрія площини і простору. Основними мотивами для виникнення геометрії площини і простору була необхідність вимірювання площі полів та інших плоских фігур а також місткості посудин і комор різної форми, тобто об'ємів різних тіл. Основним мотивом для виникнення сферики було вивчення зоряного неба.
Спостереження небесних світил відбувалося ще в Давньому Єгипті і Вавилоні, насамперед з метою встановлення календаря. Ми зобов'язані єгиптянам поділом доби на 24 години. Вклад вавилонян у розвиток астрономії був більш значний: спостереження затемнень і зірок перших століть «ери Набонасара », що почалася в VIII ст. до н. е.. Стародавні греки познайомилися з вавилонською астрономією принаймні в IV ст. до н. е.., коли початкові назви планет були замінені назвами за вавилонським зразком, латинськими перекладами яких є загальноприйняті нами назви. Астрономія, викладена в «Альмагесті» Птолемея, була результатом розвитку науки протягом кількох століть, яка увібрала традиції як вавилонських астрономів, так і грецьких геометрів.
Після того як виникла перша гіпотеза про кулеподібність Землі, виникло питання про її розміри. Перший спосіб вимірювання розмірів Землі, що дійшов до нас, був запропонований і здійснений вченим з Олександрії Ератосфеном у ІІІ ст. до н.е. Ератосфен визначив довжину земного меридіана. Вона виявилась рівною 250 тисячам стадій. Стадій не був точною мірою довжини. За стадій брали відстань, яку проходить людина за час повного виходу Сонця із-за горизонту. Враховуючи середню швидкість людини, і те, що вихід Сонця із-за горизонту відбувається протягом 2 хвилин, можна встановити, що стадій становить приблизно 160-185 м. Якщо взяти значення 160 м, то для довжини земного меридіана отримується досить точний результат 40000 км. Але зрозуміло, що вимірювання Ератосфена не могли бути такими точними хоча б тому, що Сієна розміщена не зовсім строго на південь від Олександрії, та й точність вимірювання кроками не дуже велика.
Більш точні вимірювання Землі з використанням астрономічних спостережень були проведені лише у ХVII столітті. Для цього на поверхні Землі вибирались два пункти, розміщені на одному меридіані. Спостерігаючи з них за Сонцем або зірками, наприклад, за Полярною зіркою, визначали величину дуги цього меридіана. Вимірявши потім відстань між даними пунктами, знаходили довжину всього великого кола Землі.
2.1. Сфера, велике і мале кола
Сферою називається геометричне місце точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки, що називається її центром.
Відрізок, що сполучає центр сфери з якою-небудь його точкою, називається радіусом сфери. Відрізок, що сполучає дві точки сфери і проходить через її центр, називається діаметром. З визначення випливає, що всі радіуси рівні і що діаметр дорівнює подвоєному радіусу. Площина, що проходить через центр сфери , називається діаметральної площиною.
Нехай S-деяка сфера з центром O радіуса R. Візьмемо площину a, віддалену від точки O на відстань, меншу за R. Тоді перетин площини a і сфери S є колом. Радіус r цього кола є катетом прямокутного трикутника (рис.1), гіпотенуза якого - радіус R , а другий катет - перпендикуляр h , опущений з центра сфери на площину. Тому в силу теореми Піфагора r =
Ця формула показує , що величина r приймає максимальне значення r = R при h = 0, тобто є діаметральною площиною. У цьому випадку коло на сфері і називається великим колом. В геометрії на сфері великі кола грають роль прямих на площині. При h > 0 ми маємо r < R , коло на сфері називається в цьому випадку малим колом.
Так як через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина, то через будь-які дві точки сфери, які не є діаметрально протилежними проходить єдина діаметральна площина. Тому через будь-які дві точки сфери , які не є діаметрально протилежними, проходить єдине велике коло (рис.2). Цей факт цілком аналогічний тому, що на площині через будь-які дві точки проходить єдина пряма. Через дві діаметрально протилежні точки сфери, навпаки, можна провести безліч великих кіл (рис.3). Так як будь-які дві діаметральні площини сфери перетинаються по її діаметру, то будь-які два великі кола перетинаються в двох діаметрально протилежних точках сфери ( рис.4). Тут ми спостерігаємо відмінність сферичної геометрії від геометрії площини, в якій дві прямі перетинаються не більше ніж в одній точці.
Так як площина ділить простір на дві області, то велике коло ділить сферу на дві області (рис.2); ці області називаються напівсферами, а саме коло - краєм цих півсфер . Далі, так як дві площини,що перетинаються, вони ділять простір на чотири області, то два великі кола ділять сферу на чотири області (рис. 4). Нарешті, так як три площини, що перетинаються в одній точці, ділять простір на вісім областей, то три великі кола, які не перетинаються в одній точці, ділять сферу на вісім областей (на рис.5) зображені вісім областей ABC, ABC¢, AB¢C, A¢BC, AB¢C¢, A¢BC¢, A¢B¢C, A¢B¢C¢, на які ділять сферу великі кола AB, AC и BC, причому точки A¢,B¢,C¢ діаметрально протилежні точкам A,B,C і, отже, області ABC і A¢B¢C¢, ABC¢ і A¢B¢C, AB¢C і A¢BC¢, A¢BC і AB¢C¢ попарно діаметрально протилежні.
Якщо перші дві з цих властивостей аналогічні властивостям прямих на площині, яка ділиться на дві частини прямою і на чотири частини двома прямими, що перетинаються, то третя з вказаних властивостей не цілком аналогічна відповідній властивості прямих на площині, так як три прямі, які попарно перетинаються, що не проходять три через одну точку, ділять площину не на вісім, а на сім частин (рис.6).
Якщо дві точки сфери А і В не є діаметрально протилежними , то існує єдина площина, що проходить через центр сфери і ці дві точки . Лінія перетину цієї площини зі сферою є велике коло, а менша із двох дуг цього кола, що з'єднує точки А і В, є єдиним сферичним відрізком, що з'єднує точки А і В.
Якщо точки А і В діаметрально протилежні на сфері , існує нескінченне число великих кіл, що проходять через ці дві точки , причому ці дві точки ділять кожне таке велике коло на два півкола, які є сферичними відрізками , що з'єднують точки А і В ( рис. 7) .
Сферичний відрізок володіє чудовою властивістю (як і відрізок на площині): сферичний відрізок, що сполучає дві точки на сфері, коротше будь-якої лінії на сфері, що сполучає ці дві точки (рис.7).
Кожному великому колу відповідають дві діаметрально протилежні точки сфери, що відрізаються з нього діаметром, перпендикулярним до площини великого кола. Ці дві точки називаються полюсами великого кола; зокрема, полюсами екватора Землі є її географічні полюси – Північний і Південний. Очевидно, що кожним двом діаметрально протилежним точкам А і В на сфері відповідає єдине велике коло, для якого точки А і В є полюсами; це велике коло називається полярой пари діаметрально протилежних точок А і В. Кожна точка поляри називається полярно сполученою з кожним з її полюсів; інакше кажучи, точки P,Q сфери є попарно сполученими, якщо радіуси OP і OQ перпендикулярні (О- центр сфери) (рис.9). Зрозуміло, що всі точки поляри віддалені від свого полюса на відстань, що дорівнює (або квадранту).