Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональные ряды. Степенные ряды.

 

Решение типовых задач

1. Найти радиус сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости на концах интервала.

По формуле находим радиус сходимости степенного ряда:

.

Исследуем поведение ряда на концах области сходимости:

При ряд принимает вид: - это расходящийся ряд.

При ряд принимает вид: - это также расходящийся ряд.

Следовательно, ряд абсолютно сходится на интервале .

 

2. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.

Представим функцию в виде .

Сначала разложим в ряд множитель , для этого воспользуемся формулой:

При и заменяя на получаем:

Умножая полученное разложение на , получаем разложение заданной функции:

 

3. Вычислить с точностью .

Так как пятое слагаемое меньше 0,001, то его и все последующие можно отбросить.

Таким образом, получаем .

 

4. Вычислить с точностью .

Так как четвертое слагаемое меньше 0,001, то его и все последующие можно отбросить. Таким образом, получаем .

 

5. Вычислить с точностью .

Так как четвертое слагаемое меньше 0,01, то его и все последующие можно отбросить. Таким образом, получаем .

 

6. Вычислить с точностью .

Переведем градусы в радианы:

радиан (так как радиан).

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

При получаем:

Так как третье слагаемое меньше заданной точности и не может повлиять на результат, то окончательно получаем: .

7. Пользуясь разложением функции в степенной ряд вычислить с точностью до 0,0001.

Так как

,

то

.

Почленно интегрируя полученный ряд, получаем:

 

Контрольная работа «Степенные ряды»:

 

1. Определить интервал сходимости степенного ряда.

1.1.		1.2.
1.3.		1.4.
1.5.		1.6.
1.7.		1.8.
1.9.		1.10.
1.11.		1.12.
1.13.		1.14.
1.15.		1.16.
1.17.		1.18.
1.19.		1.20.

 

2. Определить интервал сходимости степенного ряда.

2.1.		2.2.
2.3.		2.4.
2.5.		2.6.
2.7.		2.8.
2.9.		2.10.
2.11.		2.12.
2.13.		2.14.
2.15.		2.16.
2.17.		2.18.
2.19.		2.20.

 

3. Разложить функцию в ряд по степеням .

3.1.		3.2.
3.3.		3.4.
3.5.		3.6.
3.7.		3.8.
3.9.		3.10.
3.11.		3.12.
3.13.		3.14.
3.15.		3.16.
3.17.		3.18.
3.19.		3.20.

 

4. Пользуясь разложением функции в степенной ряд вычислить с заданной точностью:

4.1.	до 0,001	4.2.	до 0,0001
4.3.	до 0,001	4.4.	до 0,001
4.5.	до 0,0001	4.6.	до 0,001
4.7.	до 0,001	4.8.	до 0,001
4.9.	до 0,001	4.10.	до 0,0001
4.11.	до 0,001	4.12.	до 0,001
4.13.	до 0,001	4.14.	до 0,001
4.15.	до 0,001	4.16.	до 0,001
4.17.	до 0,0001	4.18.	до 0,001
4.19.	до 0,001	4.20.	до 0,0001

 

5. Разложить функцию по степеням .

5.1.		5.2.
5.3.		5.4.
5.5.		5.6.
5.7.		5.8.
5.9.		5.10.
5.11.		5.12.
5.13.		5.14.
5.15.		5.16.
5.17.		5.18.
5.19.		5.20.

 

6. Вычислить с точностью 0,001.

6.1.		6.2.		6.3.
6.4.		6.5.		6.6.
6.7.		6.8.		6.9.
6.10.		6.11.		6.12.
6.13.		6.14.		6.15.
6.16.		6.17.		6.18.
6.19.		6.20.		6.21.