Временные ряды

 

Содержание

Основные понятия в теории временных рядов…………………………………………..	3
Цели, этапы и методы анализа временных рядов………………………………………..	3
Модели тренда и методы его выделения из временного ряда………………………….	4
Порядок анализа временных рядов……………………………………………………….	5
Графические методы анализа временных рядов………………………………………...	6
Список литературы…………………….…………………………………………………..	8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Основные понятия в теории временных рядов

 

Временной ряд — это некоторая последовательность чисел (измерений) экономического или бизнес-процесса во времени. Его элементы измерены в последовательные моменты времени, обычно через равные промежутки.

Как правило, составляющие временной  ряд числа или элементы временного ряда, нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся. Таким образом, порядок следования элементов временного ряда весьма существен.

Расширенное понятие  временного ряда. Понятие временного ряда часто толкуют расширительно. Например, одновременно могут регистрироваться несколько характеристик упомянутого процесса. В этом случае говорят о многомерных временных рядах. Если измерения производятся непрерывно, говорят о временных рядах с непрерывным временем, или случайных процессах. Наконец, текущая переменная может иметь не временной, а какой-нибудь иной характер, например пространственный. В этом случае говорят о случайных полях. Примеры временных рядов. В экономике это ежедневные цены на акции, курсы валют, еженедельные и месячные объемы продаж, годовые объемы производства и т.п.

Временные ряды называются стационарными, если числовые характеристики ряда являются постоянными на любом участке временного ряда. Реально в жизни это не так, но существуют методы, позволяющие преобразовать временной ряд и привести его к стационарному.

 

2. Цели, этапы и методы анализа временных рядов

 

Цели анализа  временных рядов. При практическом изучении временных радов на

основании экономических  данных на определенном промежутке времени  эконометрист  должен сделать выводы о свойствах этого ряда и о  вероятностном механизме, порождающем  этот ряд. Чаще всего при изучении временных рядов ставятся следующие  цели:

1. Краткое (сжатое) описание  характерных особенностей ряда;

2. Подбор статистической  модели, описывающей временной ряд;

3. Предсказание будущих  значений на основе прошлых  наблюдений;

4. Управление процессом,  порождающим временной ряд.

На практике эти и подобные цели достижимы далеко не всегда и  далеко не в полной мере. Часто этому  препятствует недостаточный объем  наблюдений из-за ограниченного  времени  наблюдений. Еще чаще — изменяющаяся с течением времени статистическая структура временного ряда.

Стадии  анализа временных рядов. Обычно при практическом анализе временных ря дов последовательно проходят следующие этапы:

1. Графическое представление  и описание поведения временного  рада;

2. Выделение и удаление  закономерных составляющих временного  рада, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих;

3. Выделение и удаление  низко- или высокочастотных составляющих  процесса(фильтрация);

4. Исследование случайной  составляющей временного ряда, оставшейся  после удаления перечисленных  выше составляющих

5. Построение (подбор) математической  модели для описания случайной  составляющей и проверка ее  адекватности;

6. Прогнозирование будущего  развития процесса, представленного  временным рядом;

7. Исследование взаимодействий  между различными временными  рядами.

Методы  анализа временных рядов. Для решения этих задач существует большое количество различных методов. Из них наиболее распространенными являются следующие:

1. Корреляционный анализ, позволяющий выявить существенные  периодические зависимости и  их лаги (задержки) внутри одного  процесса (автокорреляция) или между  несколькими процессами (кросскорреляция);

2. Спектральный анализ, позволяющий  находить периодические и квазипериодические  составляющие временного ряда;

3. Сглаживание и фильтрация, предназначенные для преобразования  временных рядов с целью удаления  из них высокочастотных или  сезонных колебаний;

4. Модели авторегрессии  и скользящего среднего, которые  оказываются особенно полезными  для описания и прогнозирования  процессов, проявляющих однородные  колебания вокруг среднего значения;

5. Прогнозирование, позволяющее  на основе подобранной модели  поведения временного рада предсказывать  его значения в будущем.

 

3. Модели тренда и методы его выделения из временного ряда

 

Простейшие  модели тренда. Приведем модели трендов, наиболее часто используемые при анализе экономических временных рядов, а также во многих других областях.

Во-первых, это простая  линейная модель

Y_t = a₀ + a₁t

где а0, а1 – коэффициенты модели тренда; t – время.

В качестве единицы времени  может быть час, день (сутки), неделя, месяц, квартал или год. Несмотря на свою простоту, оказывается полезной во многих реальных задачах. Если нелинейный характер тренда очевиден, то может подойти одна из следующих моделей:

1. полиномиальная:

Y_t =a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ + a₄t⁴ + …

где значение степени полинома n в практических задачах редко превышает 5;

2. логарифмическая:

Y_t= e^a0+a1t

Эта модель чаще всего применяется  для данных, имеющих тенденцию  сохранять

постоянные темпы прироста;

3. логистическая:

                A₀

Уt =

          1+a₁e^-a2t    

            

4. Гомперца

log(Y_t) = a₀-a₁r^t , где 0 < r < 1

Две последние модели задают кривые тренда S-образной формы. Они  соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста  в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в  конце.

Необходимость подобных моделей  обусловлена невозможностью многих экономических процессов продолжительное  время развиваться с постоянными  темпами роста или по полиномиальным моделям, в связи с их довольно быстрым ростом (или уменьшением).

При прогнозировании тренд  используют в первую очередь для  долговременных

прогнозов. Точность краткосрочных  прогнозов, основанных только на подобранной

кривой тренда, как правило, недостаточна.

Для оценки и удаления трендов  из временных рядов чаще всего  используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда рассматривают как отклик (зависимую переменную), а время t — как фактор, влияющий на отклик (независимую переменную).

Для временных рядов характерна взаимная зависимость его членов (по крайней мере, не далеко отстоящих по времени) и это является существенным отличием от обычного регрессионного анализа, для которого все наблюдения предполагаются независимыми. Тем не менее, оценки тренда и в этих условиях обычно оказываются разумными, если выбрана адекватная модель тренда и если среди наблюдений нет больших выбросов. Упомянутые выше нарушения ограничений регрессионного анализа сказываются не столько на значениях оценок, сколько на их статистических свойствах.

Неправильными оказываются  и доверительные интервалы для  коэффициентов модели, и т.д. В лучшем случае их можно рассматривать как очень приближенные. Это положение может быть частично исправлено, если применять модифицированные алгоритмы метода наименьших квадратов, такие как взвешенный метод наименьших квадратов. Однако для этих методов требуется дополнительная информация о том, как меняется дисперсия наблюдений или их корреляция. Если же такая информация недоступна, исследователям приходится применять классический метод наименьших

квадратов, несмотря на указанные  недостатки.

 

4. Порядок анализа временных рядов

 

Цель анализа временных  рядов обычно заключается в построении математической модели ряда, с помощью  которой можно объяснить его  поведение и осуществить прогноз  на определенный период времени. Анализ временных рядов включает следующие  основные этапы.

Построение и  изучение графика. Анализ временного ряда обычно начинается с построения и изучения его графика. Если нестационарность временного ряда очевидна, то первым делом надо выделить и удалить нестационарную составляющую ряда. Процесс удаления тренда и других компонент ряда, приводящих к нарушению стационарности, может проходить в несколько этапов.

На каждом из них рассматривается  ряд остатков, полученный в результате вычитания из исходного ряда подобранной  модели тренда, или результат разностных и других преобразований ряда. Кроме  графиков, признаками нестационарности временного ряда могут служить не стремящаяся к нулю автокорреляционная функция.

Подбор модели для временного ряда. После того, как исходный процесс максимально приближен к стационарному, можно приступить к подбору различных моделей полученного процесса. Цель этого этапа — описание и учет в дальнейшем анализе корреляционной структуры рассматриваемого процесса. При этом на практике чаще всего используются параметрические модели авторегрессии-скользящего среднего (ARIMA-модели). Модель может считаться подобранной, если остаточная компонента ряда является процессом типа «белого шума», когда остатки распределены по нормальному закону с выборочным средним равным 0. После подбора модели обычно выполняются:

• оценка дисперсии остатков, которая в дальнейшем может быть использо-

вана для построения доверительных  интервалов прогноза;

• анализ остатков с целью проверки адекватности модели.

Прогнозирование и интерполяция. Последним этапом анализа временного ряда может быть прогнозирование его будущих (экстраполяция) или восстановление пропущенных (интерполяция) значений и указания точности этого прогноза на базе подобранной модели. Не всегда удается хорошо подобрать математическую модель для временного ряда. Неоднозначность подбора модели может наблюдаться как на этапе выделения детерминированной компоненты ряда, так и при выборе структуры ряда остатков. Поэтому исследователи довольно часто прибегают к методу нескольких прогнозов, сделанных с помощью разных моделей.

Методы анализа. При анализе временных рядов обычно используются следующие методы:

• графические методы представления временных рядов и их сопутствующих

числовых характеристик;

• методы сведения к стационарным процессам: удаление тренда, модели

скользящего среднего и авторегрессии;

• методы исследования внутренних связей между элементами временных рядов.

 

5. Графические методы анализа временных рядов

 

В выборочных исследованиях  простейшие числовые характеристики описательной статистики (среднее, медиана, дисперсия, стандартное отклонение) обычно дают достаточно информативное представление  о выборке. Графические методы представления  и анализа выборок при этом играют лишь вспомогательную роль, позволяя лучше понять локализацию  и концентрацию данных, их закон  распределения. Роль графических методов  при анализе временных рядов  совершенно иная. Дело в том, что  табличное представление временного ряда и описательные статистики чаще всего не позволяют понять характер процесса, в то время как по графику  временного ряда можно сделать довольно много выводов. В дальнейшем они  могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов.

При анализе графиков можно  достаточно уверенно определить:

• наличие тренда и его характер;
• наличие сезонных и циклических компонент;
• степень плавности или прерывистости изменений последовательных

значений ряда после устранения тренда. По этому  показателю можно судить о характере и величине корреляции между соседними элементами ряда.

Построение и  изучение графика. Построение графика временного ряда — совсем не такая простая задача, как это кажется на первый взгляд. Современный уровень анализа временных рядов предполагает использование той или иной компьютерной программы для построения их графиков и всего последующего анализа. Большинство статистических пакетов и электронных таблиц снабжено теми или иными методами настройки на оптимальное представление временного ряда, но даже при их использовании могут возникать различные проблемы, например:

• из-за ограниченности разрешающей способности экранов компьютеров размеры

выводимых графиков могут быть также ограничены;

• при больших объемах анализируемых рядов точки на экране, изображающие