Ряды

Контрольная работа № 5

«Ряды»

Вариант 3

 

Задание 1

Найти общий член ряда:

 

Решение: числитель дробей является рядом натуральных чисел:

 

Знаменатель дробей геометрическая прогрессия

 

Таким образом

Ответ:

 

 

Задание 2

Исследовать сходимость числового  ряда

 

Решение: - необходимый признак сходимости.

 

 

Разложение  даёт , при получим, а при соответственно получим .

 

 

,     ,   и т.д.

 

 

 

Ответ: Ряд сходится

 

 

 

 

 

Задание 3

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

 

Решение:

 

Признак Лейбница: Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, то есть одновременно выполняются следующие условия:  1) и

2) .

 

Так как:       то следовательно, первое условие признака Лейбница не выполняется.

 

Далее: так как  , то не выполнено и второе условие. Значит, данный ряд расходится.

 

Ответ: данный ряд по обоим признакам Лейбница расходится.

 

 

 

Задание 4

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

 

Решение: Признак Даламбера: Если для ряда существует предел , то этот ряд сходится при и расходится при

 

Имеем:   

 

 

- ряд расходится

 

Ответ: ряд расходится

 

ЗДЕСЬ КАКОЙ-ТО КОСЯК????     В ТАКИХ ЗАДАНИЯХ РЯД ОБЫЧНО СХОДИТСЯ.

 

 

 

 

 

 

Задание 5

 Вычислить определённый интеграл  с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать её почленно.

 

 

Решение:

Имеем:

 

 

 

 

Ответ: 0,04

 

 

 

Задание 6

 

Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной  ряд решения  дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию: .

 

Решение:

 

,

 

Решение: Искомое частное решение  представим в виде разложения в степенной  ряд:

 

По условию:

 

Из уравнения начальных условий  находим  . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

 

 

Полагая и используя значение , , последовательно находим:

 

Искомое решение имеет вид:

 

Ответ:

 

 

Задание 7

Разложить функцию  в ряд Фурье на интервале

 

 

Решение: Графиком этой функции на интервале является отрезок, соединяющий точки и .

 

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим:

 

где .

 

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом:

 

 

Далее находим коэффициенты

 

 

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю. Итак:

 

Теперь находим коэффициенты

 

 

Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная (как произведение двух нечетных). Таким образом:

 

Интегрируя по частям, получим  ,      

 

 

 

 

 для

 

Следовательно, разложение функции  в ряд Фурье имеет вид:

 

 

 

Ответ: