Методы оптимального решения

МИНЕСТЕРСТВО  СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРФЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ  АКАДЕМИЯ

ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДЫ  ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ВАРИАНТ №1

 

 

 

 

 

 

                                                         Проверила: Миронова .В.

                                                                Выполнила: Филимонова Т.А.

Специальность: финансы и кредит

гр. 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ижевск 2012

Вопрос №1                Свойства однородных функций.

Однородная функция - функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же  множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для О. ф. f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом λ должно иметь место равенство:          

 

f (λx, λу,..., λu) = λⁿf (х, y,..., u),

где n — некоторый определённый показатель («показатель однородности», или «измерение О. ф.»). Например, функции          

 

х²— 2у²; (x— y—3z)/z²+xyz²; 

 

суть однородные с измерениями, соответственно, 2, —1, ⁴/₃. Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала  f (x, у,..., u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f (x, у,..., u), умноженную на показатель однородности:

         .        

 

 

 О. ф. часто встречаются  в геометрических формулах. В соотношении х =f (а, b,..., l), где а, b,..., l — длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть О. ф. (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма         

 

 

  усечённого конуса правая часть — О.ф. h, R и r измерения 3.

 

 

 

 

 

 

Вопрос №2             Математическая теория игр

Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют  различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в  соответствии с этими интересами. Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались  многими учёными. Математическая теория игр была детально разработана американскими  учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном  как средство математического подхода  к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр  переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов. Теория игр- математические расчеты гипотетического поведения принятия решения двумя или более людьми в ситуациях, где каждый способен сделать выбор между двумя или более направлениями деятельности "стратегиями", их интересы могут частично или полностью быть противоположными, для любого лица числовые значения прилагаются к комбинации результатов, теория игр основана на традиционных формах рационального моделирования в политэкономии.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, -игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых  необходимо принимать решения в  условиях неопределённости, т. е. возникают  ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий  партнёра. Такие ситуации относятся  к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

ЗАДАЧА

Фабрика выпускает продукцию  двух видов: П1 и П2. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта – А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т. соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов  на 1 тыс. изделий (т)		Максимально возможный запас (т)
	П1	П2
А	1	2	6
В	2	1	8
С	1	0,8	5

Изучение рынка сбыта  показало, что спрос на изделие  П2 никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки. Рыночная цена 1 тыс. шт. изделия П1 равна 3 тыс. руб., а 1 тыс. шт. изделия П2 - 2 тыс. руб.

Какое количество изделий (в  тыс. шт.) каждого вида должна производить  фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение:

Переменные  решения:

x_{1 –} объем производства продукции П1 (в тыс. шт.)

x_{2 –} объем производства продукции П2 (в тыс. шт.)

Функция цели: f(x)= 3000x₁+2000x₂ ®max

Ограничения:

x₁+2x₂ ≤ 6

2x₁+x₂ ≤ 8

x₁+0,8x₂ ≤ 5

x₂ ≤ 2

x_1, x₂ ≥ 0

Перенесем соответствующие  исходные данные в рабочую книгу  Excel и заполним диалоговое окно Поиск решения, вид части листа представлен на рисунке 1.

Организация исходных данных на рабочем листе Excel.

После нажатия на кнопку «Найти решение», вычисляется целевая  функция и значения переменных. Результат  расчета представлен на рисунке 2.

Результат вычислений на рабочем  листе Excel.

Вывод: чтобы доход от реализации продукции был максимальным, фабрика должна производить изделий (в тыс. шт.) каждого вида: П1 – 4, П2 – 0. При этом доход составит 12000.