Контрольная работа по "Эконометрике"

Для всех трех уравнений β>0, переменные Х_i (общая площадь квартиры, этаж квартиры и площадь кухни) и y_i (цена квартиры) положительно коррелированны и имеют прямую связь.

Решение:

Для проведения регрессионного анализа с использованием надстройки Excel:

• Выбераем команду СервисÞАнализ данных.
• В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия.
• В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим вместе с надписями адрес одного диапазона ячеек, который  представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х вводим с надписями адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных. По очереди вводим Х3,Х5,Х6, три модели.
• Так как выделены и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке. отмечаем галочками: уровень надежности 95%, новый рабочий лист, остатки, график подбора и график остатков -ОК
• Результат: три протокола с выводом остатков (Таблицы 4,5,6), три уравнения парной регрессии, графики подбора (Графики 3,5,7) и графики остатков для каждого Х (Графики 4,6,8).

Основная задача регрессионного анализа заключается в исследовании зависимости изучаемой переменной от различных факторов и отображении их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

Линейное уравнение  связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде:

у_i=α+β*х_i+ε_i

где α – постоянная величина (или свободный член уравнения);

β – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений.

ε_i – случайная составляющая отражает тот факт, что изменение у_i будет неточно описываться изменением Х, поскольку присутствуют другие факторы, неучтённые в данной модели.

Систематическую часть можно представить в виде уравнения:

ŷ_i=α+β*х_i

Коэффициент регрессии β характеризует изменение переменной у_i при изменении значения х_i на единицу. Если β>0, переменные х_i и у_i положительно коррелированны и имеют прямую связь, если β<0 – отрицательно коррелированны и имеют обратную связь.

Оценки наименьших квадратов:

Коэффициент регрессии β вычисляется по формуле:

 

 

При   ≠ 0

Вычислим  Коэффициент регрессии β для фактора Х3 используя Exсel:

• Функция - ЛИНЕЙН - (известные_значения_у: выделяем значения столбца Y; известные_значения_х: выделяем значения столбца Х3; константа: выделяем значение коэффициента Y-пересечение из протокола; статистика: выделяем значение t-статистика для Y-пересечение из протокола)- ОК.

 

или используем следующие формулы:

Таблица 7

Наименование показателя в отчёте Excel	Принятые наименование	Формула
Множественный R	Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции	R=
R – квадрат	Коэффициент детерминации R2	R2=1-
Нормированный R – квадрат	Скорректированный R2
Стандартная ошибка	Среднеквадратическое отклонение от модели	Se=
Наблюдения	Количество наблюдений n	n

 

Таблица 8

	df – число степеней свободы	SS – сумма квадратов	MS – среднее значение	F – критерий Фишера
Регрессия	k=1		/k	F=
Остаток	n-k-1=38		/(n-k-1)
Итого	n-1=39

 

4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.

Ответ:

Лучшая модель парной регрессии фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х_3. Поскольку только для этой модели F_расч > F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным. Коэффициент детерминации (R²⁼0,592395) высокий, близкий к 1, хорошее качество модели. 59% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора Х₃ (общая площадь квартиры).

В нашей  задаче β₃=1,5426 (коэффициент при Х₃) показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1 м², цена квартиры увеличится на 1,5426 тыс. долл.

Критерии	Первая модель Для Х3	Вторая модель Для Х5	Третья модель Для Х6	Выводы
R2-коэффициент детерминации	0.592395	0.021428	0.076881	Модель Х3 лучше
- средняя ошибка аппроксимации	28%	46 %	49 %	Модель Х3 лучше
F-критерий Фишера	95,3132216	0,832088977	3,164784713	Fтабл.=  4,098172 Модель Х3 адекватна, остальные  нет

 

Решение:

4.1 Оценим качество моделей через коэффициенты детерминации R² для всех факторов (Х).

 

Коэффициент детерминации R² рассчитывается по формуле:

• Оценим качество первой модели для фактора Х3 (общей площади квартиры):

 y₃=-11,7088+1,5426*Х₃ R

Коэффициент детерминации высокий, близкий к 1, хорошее качество модели.

Коэффициент детерминации показывает, что около 71% вариации зависимой  переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием на него включённых факторов.

 

• Оценим качество второй модели для фактора Х5 (этажа квартиры):

y₅=81,74288+1,8876*Х₅

Коэффициент детерминации очень низкий, близкий к 0, фактор почти не влияет на Y (стоимость квартиры).

• Оценим качество третьей модели для фактора Х6 (площади кухни):

y₆=34,77295+5,9947*Х₆

Коэффициент детерминации очень низкий, близкий к 0, фактор почти не влияет на Y (стоимость квартиры).

2. Для оценки качества регрессионных моделей рассчитаем величину средней ошибки аппроксимации для всех факторов.

Средняя относительная ошибка аппроксимации вычисляется по формуле:

 

 

Подставляя в уравнения регрессии фактические значения факторов Х_i, найдем ŷ_i

Вычисляем остаток e_i , который представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от ее значения, полученного расчетным путем.

e_i= y_{i −} ŷ_i

Или берем остатки e_i из протокола регрессионного анализа (для первой модели Таблица 4, для второй Таблица 5, для третьей модели Таблица 6)

Рассчитаем E_i по формуле:

 

Для того чтобы получить значение e_i/y_i по модулю │e_i/y_i│*100 необходимо воспользоваться функцией Exсel – функция -ABS (выделяем значение e₁, / на y₁*100), а затем суммировать столбец и разделить на n.

 

• Для первого фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х₃

 

= 27,87 = 28 %

 

• Для второго фактора Х₅ ; y₅=81,74288+1,8876*Х₅

 

= 45,78= 46 %

• Для третьего фактора Х_6;; y₆=34,77295+5,9947*Х₆

 

= 48,63 = 49%.

 

< 7% свидетельствует о хорошем  качестве модели. Чем меньше рассеяние  эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации.

Наиболее удачная модель для фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х₃

3. Проверку значимости уравнений регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

F= ,

 

n- количетво наблюдений.= 40

k – количество факторов, включенных в модель = 1

α – уровнень значимости = 0,05

Табличное значение F-критерия можно  найти EXCEL: Fтабл.= 4,098172

• Функция – FРАСПОБР - при доверительной вероятности 0,05;
• Степень свободы 1 = k =1;
• Степень свободы 2 = n – k -1= 40 - 1 - 1=38

 

 

4.3.1 

 

F-критерий Фишера для фактора Х3 можем взять из протокола регрессионного анализа Excel (F) для фактора Х3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	73931,13794	73931,13794	95,31322

 

4.3.2 

Также F-критерий Фишера для фактора Х5 можем взять из протокола регрессионного анализа Excel (F) для фактора Х5 .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	2215,779194	2215,779194	0,832088977

 

4.3.3

Также F-критерий Фишера для фактора Х6 можем взять из протокола регрессионного анализа Excel (F) для фактора Х6 .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	7949,975478	7949,975478	3,164784713

 

Fyx3 =95,3132216 > Fтабл.= 4,098172

Fyx5=0,832088977< Fтабл.= 4,098172

Fyx6=3,164784713 < Fтабл.= 4,098172

Поскольку только для  модели фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х₃ F_расч > F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

5. Осуществить прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

 

Ответ:

Прогнозное значение для модели y_х3i=-11,7088+1,5426*Х_3i

= 196,07 с вероятностью 80% будет  находиться между верхней границей, равной 196,07 + 50,72 =246,79 и нижней границей, равной 196,07 - 50,72 =145,35

Фактические и модельные  значения точки прогноза представлены на Графике 9 (изображены треугольниками, черный треугольник – модельное значение, белые треугольники – фактическое значение точки прогноза, черный ромб – среднее значение Y_сред=93,65, Х_сред=69,21).

Координаты точки прогноза модельной: Y_прогн=196,07, Х_прогн=135,6;

Координаты точки прогноза фактические:

верхний предел: Y_прогн=246,79, Х_прогн=135,6;

нижний предел: Y_прогн=145,35, Х_прогн=135,6

 

Решение: Прогнозирование по регрессионной модели: прогнозируемое значение переменной Y получается при подстановке в уравнение регрессии прогнозируемой величины фактора Х_прогн..

Определяем Х_прогн. : выбираем самое большое значение Х_3max с помощью Excel:

• функция - МАКС(выделяем диапазон значений Х3)- ОК.

Зная Х_3max можно рассчитать Х _прогн.:

Х_3max=169,5

Х_прогн. = 169,5*80% /100=169,5*0,8=135,6 м²

Y_сред=95,05 тыс. долл.

Для того, чтобы определить цену квартиры при общей площади квартиры 135,6 м², необходимо подставить значение Х_прогн в полученную модель: