Тезисы лекционных занятий

Таким образом,

В момент t, когда груз переместится на расстояние х и стержень получит такую же дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в отношении . Поэтому

   Кинетическая энергия системы  складывается из кинетической энергии  груза  и стержня . Кинетическая энергия груза . При вычислении кинетической энергии стержня учтем, что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца стержня равна х', а верхнего — нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь значения, заключающиеся между этими двумя.   

Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня  по отношению к закрепленному  концу меняются по тому же закону, что  и при статическом растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закрепленного сечения. Таким образом, если нижнее сечение стержня переместилось  на величину х, то сечение, отстоящее от места защемления на , переместится на величину , скорость этого сечения будет равна . Живая сила элемента стержня длиной , отстоящего на от закрепленного конца, будет равна:

Кинетическая энергия  всего стержня будет равна  сумме величин  , т.е.

Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу  , т. е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х', что и груз Q. Полная же кинетическая энергия системы груз — стержень будет:

Подставляя Т и выражение U (4) в уравнение (5), дифференцируем последнее по t и находим:

или

Здесь — статическая деформация от груза . Полученное дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня отличается от полученного ранее уравнения только величиной множителя при х и полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на массу стержня, которую нужно ввести в предыдущие расчеты, состоит в том, что при определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня. Таким образом, учет массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных колебаний и увеличивает их период. Величину называют приведенной массой стержня.

Вопросы для самопроверки

    Какие колебания называются свободные, а какие -  вынужденными? Что называется степенью свободы системы? Какие имеются способы отхода от резонанса? Какая существует связь между частотой, круговой частотой и периодом колебаний? Как выполняется расчет на прочность конструкций при вынужденных колебаниях?