Тезисы лекционных занятий

 

Тема 8. Общие методы определения перемещений в произвольных произвольно нагруженных системах.  Статически неопределимые системы.

 

    В этой теме  изучаются общие методы определения  угловых и линейных перемещений,  когда в поперечных сечениях  балки возникают одновременно (или  в том или ином сочетании) : нормальное усилие N , поперечные силы изгибающие моменты относительно осей  y и z и крутящий момент относительно оси бруса х.

    Наиболее целесообразно  определять перемещения с помощью  интеграла Мора, позволяющего находить  их для любых сечений упругой  системы и в любом направлении.  Интеграл Мора имеет следующий  вид:

   

dS.

 

    Если элементы упругих систем испытывают деформации кручения и изгиба, тогда тремя последующими членами обычно пренебрегают, т.к. перемещения сечений от нормального усилия N, поперечных сил часто весьма малы по сравнению с перемещениями от для прямого чистого или поперечного изгиба обычно используют выражение

dS

    В элементах  ферменных систем значения внутренних  силовых факторов следовательно, в них возникает только нормальное усилие, поэтому

    Для балок с  прямолинейной осью (при постоянной  площади поперечного сечения  по их длине) упрощение решения  интеграла Мора дает способ  Верещагина. Например, для балки,  испытывающей деформацию изгиба, перемещение можно найти по  формуле

.

Здесь - площадь эпюры изгибающего момента от западных сил; ордината, взятая с эпюры изгибающего момента балки, нагруженной единичной силой или единичным моментом, под центром тяжести эпюры от западных сил;  – жесткость сечения балки – го участка. 

    Последовательность  определения перемещений по способу  Верещагина принимается следующей:

1. Строят эпюры внутренних силовых факторов от западных сил (при необходимости эпюры расслаиваются).
2. Балку освобождают от внешних нагрузок и нагружают в интересующем сечении единичной силой (единичным моментом) и строят соответствующие эпюры.
3. Перемножают эпюры.

    В ряде случаев  равнодействующие внутренних сил  не могут быть определены при  помощи уравнений равновесия. Упругие  системы, которые не могут быть  решены с помощью одних уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. Раскрытие статической неопределенности предполагается производить по методу сил. Система считается геометрически не измеряемой, если любое её сечение получает перемещение только за счет деформации, вызванной действием внешних сил. Геометрическая неизменяемость системы обеспечивается накладываемыми на нее связями. Различают связи необходимые и лишние. Связи, удаление которых сохраняет геометрическую не изменяемость системы, называют лишними или условно необходимыми. Следовательно, раскрыть статическую неопределенность системы – означает составить дополнительные уравнения, с помощью которых можно определить усилия по направлению лишних связей. Различают внутренние и внешние лишние связи. В соответствии с этим внутренние и внешние статически неопределенные системы.

     Раскрытие  неопределенности системы начинается  с освобождения ее от лишних  связей (без нарушения геометрической  неизменяемости) и замене их действия  силами или моментами, подобранными  так, чтобы перемещения в системе  соответствовали ограничениям, накладываемым  на систему отброшенными связями.  Порядок раскрытия статической  неопределенности систем обычно  следующий:

1. Определяют степень статической неопределенности, а следовательно количество недостающих уравнений.
2. Записывают канонические уравнения метода сил; для n раз статически неопределимой системы они имеют вид:                                                                                                                                                           

                                         I                              II                               III                              n                                                                                               . . .            

_______________

                                                         . . .            

______________________________                                                                                                                                                                          . . .              

______________________________________________

                   . . .                          . . .                            . . .                                     . . .             

                                                      . . .           

_______________________________________________________________

 

   где чертой с  индексом, например I, показано каноническое уравнение, применяемое при решении один раз статически неопределимой системы, и т.д.

3. Выбирают основную систему, причем выбор должен быть сделан из условия необходимости получить наиболее простое решение задачи.
4. Показывают эквивалентную систему. Так называется статически определимая геометрически неизменяемая система, получаемая из заданной статичеки неопределимой системы путем отбрасывания лишних связей и замены их действия искомыми силами, моментами.
5. Строят эпюры: от заданных сил в основной системе (обозначаются ) и от единичных сил (моментов) каждый раз отдельно в основной системе (обозначают 1,2,3 и т.д.).
6. Перемножают эпюры по способу Верещагина и находят значения входящие в каноническое уравнения.
7. Решая систему канонических уравнений, находят неизвестные значения …, по направлению соответствующих лишних связей.
8. Значение неизвестных величин показывают в эквивалентной системе и строят эпюры внутренних силовых факторов.

Вопросы для самопроверки

    Что понимается  под названием потенциальная  энергия деформации? Какие члены  интеграла Мора сохраняются при  решении плоских систем, при решении  стержневых систем? В чем сущность  способа Верещагина и когда  его нельзя применять? Что называется  заданный, основной и эквивалентной системами? Какие перемещения называют главными, а какие – побочными? Назовите симметричные и обратно симметричные внутренние силовые факторы. Какие упругие системы называют симметричными, а какие – обратно (косо) симметричными?

 

Тема 9. Основы теории напряженного и деформированного состояния.

Гипотезы возникновения пластических деформаций и разрушений

 

     В теме изучается  напряжение и деформированное  состояние в общем случае нагружения тела, что необходимо для последующего решения более сложных задач, в частности задач на прочность.

    Если воспользоваться  методом сечений и мысленно  в интересующем нас сечении  рассечь тело, нагруженное внешними  силами, отбросить одну из частей, то внешние силы уравновесятся  силами взаимодействия отброшенной  части тела. Эти силы для всего  тела являются внутренними, а  для каждой части – внешними. Рассмотрим какую-нибудь точку  в сечении и найдем напряжение. Если через эту точку провести  другие плоскости, то каждый  раз напряжения в этой точке  будут другими. Через точку  можно провести множество плоскостей  и поэтому в каждой точке  следует рассматривать множество  напряжений. С учетом этого в  общем случае говорят не о  напряжении в точке, а о напряженном  состоянии в ней.

     Вырезая из  тела в окрестности исследуемой  точки элементарный параллелепипед, показываем по каждой грани  полный вектор напряжения. В общем  виде полный вектор может быть  разложен на нормальное, перпендикулярное  площадке, и касательное напряжения. Следовательно, по трем взаимно  перпендикулярным площадкам будет  действовать девять составляющих  напряжения, называемых компонентами напряженного состояния в точке.

    Основной задачей исследования напряженного состояния является определение – напряжений по произвольной площадке, проходящей через данную точку, положения главных площадок и значений главных нормальных напряжений. 
    Среди бесконечной большого числа площадок, проходящих через данную точку тела, всегда найдутся, по крайней мере, три взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки носят название главных площадок, а нормальные напряжения на них – главных нормальных напряжений. Главные напряжения обозначают при этом . Значение главных нормальных напряжений можно определить из выражения

Где инварианты напряженного состояния в точке, определяемые из выражений:

;

;

.

    Здесь   компоненты напряженного состояния в точке. Они известны.

    Главные напряжения  в каждой точке тела имеют  всегда одни и те же значения  и направления. Они не зависят  от положения выбранной системы  координат.

   Следует обратить внимание на имеющиеся классификацию видов напряженного состояния в точке. Различают линейное (одноосное), плоское (двухосное) и объемное (трехосное) напряженное состояние. Напряженное состояние считается объемным, если по всем граням элементарного параллелепипеда главные напряжения не равны нулю. Если главные нормальные напряжения действуют по двум или одному направлению, то напряженное состояние получают названия плоского или линейного соответственно.

    Очень  важно  знать выражения для определения  значений главных нормальных  напряжений  в

случае плоского напряженного состояния, которое наиболее часто встречается в брусе, подвергающемся одновременно действию  изгибающих, скручивающих и растягивающих нагрузок, а также в тонкостенных оболочках.

Наиболее часто в этом случае главные напряжения определяют по формуле

=    

  

    С  учетом  соотношения между главными напряжениями 

имеем:

+  ;     = 0 ;   = - .

 

     Необходимо  обратить внимание на значения  максимальных  касательных  напряжений,  действующих в площадках под углом 45 к главным площадкам. Обозначая главные направления, перпендикулярные главным площадкам , через 1, 2 и 3, наибольшие  касательные

Напряжения в  равнонаклонных  площадках определяются из выражений:

 

   

 

Так как  то

     Решение вопроса  о прочности элемента инженерной  конструкции, а иногда конструкции  в целом, является конечной  целью  большинства  инженерных  расчетов. Вопрос прочности элемента, работающего при простых деформациях  – растяжении, сжатии, кручении, прямом  изгибе, осуществляется путем сопоставления   наибольшего напряжения в   опасной точке с величиной  предельного напряжения для   материала, из которого изготовлен  элемент. В случае  сложных т.д.) напряженное состояние в опасной точке опасного сечения тела  отличается от указанных выше и расчеты на прочность его  также отличаются от расчетов на прочность элемента при простых видах нагружения.

     В  общем  случае нагружения количество напряженных состояний бесконечно велико, поэтому о

прочности элемента , находящегося  в произвольном напряженном состоянии, приходится судить

по прочности элемента, находящегося в напряженном состоянии, для которого предельное состояние  известно, путем высказывания  предположения  о равнопрочности.

     Предположение  о равнопрочности двух элементов, находящихся в  разнотипных напряженных

состояниях,  носит название гипотезы  или теории прочности. Одноосное напряженное состояние, равнопрочное данному, называется эквивалентным, а его главное нормальное напряжение – эквивалентным напряжением                       

    При изучении темы следует обратить внимание на теории – наибольших касательных напряжений, предельных состояний, энергетическую теорию формоизменения, а также на области применения теорий.

    Учитывая  исключительную  важность усвоения данной темы, приведем выражение некоторых  теорий прочности.

     Теория наибольших  касательных напряжений, учитывающая  лишь два главных нормальных  напряжения, однако дающая хорошие  результаты для пластичных материалов  ( в частности, малоуглеродистой стали), одинаково сопротивляющихся растяжению – сжатию, записывается так:

    для объемного  вида напряженного состояния

    Для плоского  напряженного состояния, характерного  для балок, работающего на изгиб,  тонкостенных оболочек и т.д.

    Согласно энергетической  теории прочности формоизменения, два элемента, находящихся в разнотипных напряженных состояниях, будут равнопрочными, если энергии, идущие на изменения формы, у них одинаковы.

Теория прочности для  объемного напряженного состояния  имеет вид

  Для плоского напряженного состояния, как уже указано, характерного для условий работы балок, тонкостенных оболочек и т.д.

Условием прочности  по каждой теории прочности будет выражение

Вопросы для самопроверки

    Какие виды  напряженного состояния в точке  вы знаете? Назовите компоненты  напряженного состояния в точке  и в сколько из них независимы? Что называется главными осями,  главными площадками, главными напряжениями? Назовите выражения для экстремальных  значений касательных напряжений  и укажите площадки их действия. Как определяется значение главных  напряжений и положение главных  площадок? Какие вы знаете теории  прочности? Дайте критический  обзор теории прочности. Напишите  выражения проектировочного и проверочного расчетов по теории наибольших касательных напряжений, энергетической теории формоизменения и теории предельных напряженных состояний.