Тезисы лекционных занятий

(1)

 

   Так как к моменту окончания  деформации ударяющее тело пройдет  путь , то его запас энергии будет измеряться произведенной им работой и будет равен:

(2)

 

   Вычислим теперь . При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию:

(3)

 

   Статическая деформация в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:

или    

Здесь с — некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или сжатии , и ; при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам, сосредоточенной силой Q посредине пролета и ; и т.д.

Таким образом, выражение  для энергии может быть переписано так:

   

В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный —  от нуля до окончательного значения —  рост силы Q, напряжений и пропорциональных им деформаций .   

Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над  упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается в силе, и модуль упругости сохраняет  свою величину. Что касается характера  нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно; постепенно растет в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения .   

Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее ) является следствием развития деформации ; она растет параллельно от нуля до окончательной, максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:

где с — упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое значение и при ударе.    

Таким образом, обе предпосылки  для правильности формулы (3) принимаются  и при ударе. Поэтому можно  считать, что вид формулы для  при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции , т. е.

(Здесь учтено, что по  предыдущему  .) Подставляя значения Т и в уравнение (1), получаем:

или

Отсюда

или, удерживая перед радикалом  для определения наибольшей величины деформации системы в направлении  удара знак плюс, получаем:

(4)

Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то

	(5)
	(6)

 

   Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической  деформации, т. е. от жесткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это  дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина

(7)

в данном случае представляет собой динамический коэффициент.   

Заменяя в этой формуле Н на , где — скорость ударяющего тела в начальный момент удара, получаем:

(8)

Кроме того, так как

где —энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для динамического коэффициента может быть представлено еще и в таком виде:

(9)

 

   Если мы в формулах (4) и (5) положим  , т. е. просто сразу приложим груз Q, то и ; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.   

Наоборот, если высота падения  груза Н (или скорость ) велика по сравнению с деформацией , то в подкоренном выражении формул (4) — (8) можно пренебречь единицей по сравнению с величиной отношения . Тогда для и получаются следующие выражения:

и

(10)

При очень большой величине отношения  можно пренебречь и единицей, стоящей перед корнем, т. е. написать:

и

(11)

Динамический коэффициент  в этом случае определяется по формуле

(12)

 

   Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей 2Н в подкоренном выражении  допустимо уже при  (неточность приближенных формул будет не больше 5%). пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при очень большой величине отношения .

Так, например, для того чтобы  приближенные формулы (11) и (12) давали погрешность  не более 10%, отношение  должно быть больше 110.   

Формулы и , в которых выражается через , могут быть использованы также для решения задачи о встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчета на удар.    

Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий  прием решения задач на определение  напряжений при ударе. Применяя закон  сохранения энергии, надо:

1) вычислить кинетическую  энергию ударяющего тела Т;

2) вычислить потенциальную  энергию  тел, воспринимающих удар, под нагрузкой их силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через напряжение ( , ) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб) или через силу инерции ударяющего тела;

3) приравнять величины  и Т и из полученного уравнения найти или непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь законом Гука, напряжение или силу и соответствующие ей динамические напряжения и деформации.   

Описанный общий прием  расчета на удар предполагает, что  вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную  энергию деформации упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию  и энергию неупругой деформации основания, на которое опирается  система.   

Вместе с тем при  высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объем ударяемого тела и  в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, но жесткость или масса ударяемой конструкции велика.   

Указанные случай соответствуют  большим величинам дроби  . Поэтому можно сказать, что описанный выше метод расчета применим, пока дробь не превышает определенной величины. Более точные исследования показывают, что ошибка не превышает 10% если . Так как эта дробь может быть представлена в виде отношения , то можно сказать, что изложенный метод применим, пока энергия удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации, соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учет массы ударяемого тела при ударе позволяет несколько расширить пределы применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.

Более точная теория удара  излагается в курсах теории упругости.

 

    Вопросы  для самопроверки

    Как определяют  напряжения в элементах контракции  при равноускоренном поступательном  движении и при вращательном  движении? Что такое динамический  коэффициент и как он определяется  с учетом и без учета массы  ударяемой упругой системы? Как  производят испытания на ударную  нагрузку?

 

                                               Тема 15. Упругие колебания

 

    До сих пор мы решали основную задачу сопротивления материалов, определяли размеры поперечных сечений частей конструкции и выбирали для них материал лишь при статическом действии нагрузок.   

Статическое действие нагрузок имеет место, когда при передаче давления от одной части конструкции  на другую или при действии объемных сил механическое движение этих частей не меняется с течением времени. В  этом случае каждый элемент конструкции  находится в равновесии под действием  внешних нагрузок и напряжений.   

Постоянство движения характеризуется  тем, что скорость рассматриваемых  деталей и каждой их части не меняется — отсутствует ускорение частиц этих элементов. Наличие же ускорения  частиц рассматриваемого тела или соприкасающихся  с ним деталей характеризует  уже воздействие динамической нагрузки. Так, давление земли на подпорную  стенку будет статической нагрузкой, так как ни стенка, ни земляная масса  не движутся, — скорость их постоянна  и равна нулю.   

Точно так же статическим  будет действие поднимаемого груза  на канат при постоянной скорости подъема груза. Наоборот, это действие будет динамическим, если груз поднимается  с ускорением. Динамическую нагрузку испытывают шатуны паровых машин  и двигателей внутреннего сгорания, так как отдельные элементы их движутся с переменной скоростью. В качестве других примеров конструкций, работающих на динамическую нагрузку, можно указать на фундамент машины, имеющей вращающиеся части, расположенные внецентренно относительно оси вращения, — они будут испытывать центростремительное ускорение; можно указать на фундамент и шток парового молота, так как боек молота при ковке теряет свою скорость за очень короткий период времени, что связано с сообщением ему весьма больших ускорений.   

Уже из этих примеров видно, что на практике мы можем встречаться  с различными видами ускорения рассматриваемой  детали или соприкасающихся с  ней тел; оно может быть постоянным по величине и направлению или  только по направлению; может быть знакопеременным.    

При переменных и знакопеременных  напряжениях мы встречаемся с  явлением разрушения от постепенно развивающейся  трещины — с явлением усталости. При резком изменении скорости движения элемента конструкции в зависимости от передачи на него давлений от соседних деталей, когда имеет место явление удара, может обнаружиться хрупкость в таких материалах, которые при статическом действии нагрузок оказывались пластичными. Поэтому при проверке прочности деталей конструкций, подвергающихся действию динамических нагрузок, приходится интересоваться влиянием этих нагрузок не только на величину напряжений в детали, но и на сопротивляемость материала.   

Влияние ускорений точек  деталей конструкции на напряженное  состояние материала может быть учтено следующим образом. Если какое-либо тело движется с ускорением, то это  значит, что на него передаются (к  нему приложены) силы (давления) от других тел; по закону равенства действия и  противодействия оно передает на эти тела равные приложенным силам  и противоположно направленные реакции, называемые силами инерции. Это рассуждение  применимо также и к каждому  элементу движущегося с ускорением тела; этот элемент будет передавать на прилегающие части материала  усилия, равные силе инерции этого  элемента.   

Таким образом, при ускоренном движении частей конструкции в них  возникают добавочные вполне реальные напряжения, которые эквивалентны статическим  напряжениям, вызванным силами инерции; от каждого элемента стержня на соседние части материала будут передаваться такие напряжения, как будто бы к нему была приложена соответствующая сила инерции.   

Отсюда получаем практическое правило для определения напряжений в части конструкции, точки которой  испытывают ускорения: надо вычислить  эти ускорения и в дополнение к внешним силам, действующим  на рассматриваемый элемент конструкции, нагрузить его соответствующими силами инерции. Дальше следует вести  расчет так, как будто на стержень действует статическая нагрузка.    

Здесь надо различать три  случая. Если величина и расположение внешних сил, приложенных к рассматриваемому элементу, не зависят от его деформаций, если эти деформации не изменяют характера  движения стержня, то ускорения его  точек вычисляются по правилам кинематики твердого тела, и учет динамических воздействий сводится к добавочной статической нагрузке соответствующими силами инерции. Это имеет место  в большинстве практически важных случаев (за исключением удара).