Основные характеристики систем массового обслуживания

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарности, стационарности и отсутствия последействия.

Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления 2-х и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что в магазине самообслуживания одновременно выйдут из строя несколько кассовых аппаратов.

Стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени ∆T зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента T, не определяет того, сколько требований поступит в систему за время (T + ∆T). Например, если в кассовом аппарате в данный момент произошел обрыв кассовой ленты и он устранен кассиром, то это не влияет на возможность нового обрыва на данной кассе в следующий момент и тем более на вероятность возникновения обрыва на других кассовых аппаратах.

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т. е. вероятность поступления за время T ровно k требований задается формулой

,  (8)

где λ - интенсивность потока заявок, т. е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени,

 

  ,  (9)

где τ — среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

.  (10)

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально:

,  (11)

где ν — интенсивность движения очереди, т. е. среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени,

,  (12)

где Точ - среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания Тобс является случайной величиной и подчиняется во многих случаях показательному закону распределения с плотностью

,  (13)

где μ — интенсивность потока обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

.  (14)

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели λ и μ, является интенсивность нагрузки, которая показывает степень согласования указанных потоков заявок:

.  (15)

Перечисленные показатели k, τ, λ, lоч, Точ, ν, Тобс, μ, ρ, Рk являются наиболее общими для СМО.

 

 

 

Заключение

 

Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время. СМО разделяются на большое количество типов. Первые задачи теории массового обслуживания были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом, в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Установлены необходимые и достаточные условия, которые надо наложить на изолированные узлы открытой сети массового обслуживания с двухрежимными стратегиями обслуживания, чтобы стационарное распределение состояний сети имело мультипликативную форму с множителями, зависящими от состояний отдельных узлов. Эти условия выписаны в аналитической форме и выражают обратимость нетерминальных узлов сети. Искусственная случайная среда характеризуется пуассоновским входным потоком.

В аналитической форме найдены множители в мультипликативном представлении стационарного распределения. Построен алгоритм для расчета стационарных вероятностей состояний сети. Доказано, что выходящие из сети потоки заявок являются независимыми пуассоновскими потоками.

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: «Высшая школа», 2003. - 479 с.

2 Лаврусь, О.Е. Теория массового  обслуживания. Методические указания/ О.Е. Лаврусь, Ф.С. Миронов. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38 с.

3 Саакян, Г.Р. Теория массового обслуживания: лекции / Г.Р. Саакян. - Шахты: ЮРГУЭС, 2006. - 27 с.

4 Авсиевич, А.В. Теория массового  обслуживания. Потоки требований, системы массового обслуживания / А.В. Авсиевич, Е.Н. Авсиевич. - Самара: СамГАПС, 2004. - 24 с.