Основные характеристики систем массового обслуживания

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств n должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося илистационарного режима работы СМО) :

.

В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки   : 

Возможности оценки характеристик с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными. Несравненно большими возможностями обладают имитационные модели, позволяющие исследовать Q-схему без ограничений. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентированы многие языки имитационного моделирования, например SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.

 

 

 

2 Классификация  систем массового обслуживания

 

СМО по наличию того или иного признака можно разделить следующим образом:

1. По характеру поступления требований – на системы с регулярным и случайным потоком поступления требований в систему.

Если количество поступающих требований в систему в единицу времени (интенсивность потока) постоянно или является заданной функцией времени, то имеем систему с регулярным потоком поступления требований в систему, в противном случае – со случайным.

Для исследования СМО со случайным потоком необходимо, чтобы была задана или известна функция распределения вероятностей поступления требований в систему. Примером такой системы может служить хорошо налаженный монтаж какого-либо сооружения по чётко разработанному плану.

Случайный поток требований в систему подразделяется на стационарный и нестационарный.

Если параметры потока требований не зависят от расположения рассматриваемого интервала времени на оси времени, то имеем стационарный поток требований, в противном случае – нестационарный. Например, если число автомашин, приходящих на склад, не зависит от времени суток, то поток требований – стационарный.

1. По количеству поступающих требований в один момент времени – на системы с ординарным и неординарным потоками требований. Если вероятность поступления двух или более требований в один момент равна нулю или имеет столь малую величину, что ею можно пренебречь, то имеем систему с ординарным потоком требований.

Например, поток требований – автосамосвалы, обслуживающие экскаватор, – можно считать ординарным, т.к. вероятность поступления двух и более автосамосвалов под погрузку к экскаватору – каналу обслуживания – очень мала, и ею можно пренебречь.

3. По связи между требованиями – на системы без последействия от поступивших требований и с последействием. Если вероятность поступления в систему в некоторый момент не зависит от того, сколько уже требований поступило в систему, т.е. не зависит от предыстории изучаемого процесса, то имеем задачу без последействия, в противном случае – с последействием. Примером задачи без последействия может служить оптовая база по продаже некоторых продуктов (канал обслуживания), на которую приходят покупатели (требования), причём число обслуживаемых покупателей предполагается неограниченным.

4. По характеру поведения требований в системе – с отказом, с ограниченным ожиданием и с ожиданием без ограничения.

Если вновь поступившее требование на обслуживание застаёт все каналы обслуживания уже занятыми, и оно покидает систему, то имеем систему с отказом. Требование может покинуть систему и в том случае, когда очередь достигла определённых размеров. Если, например, на станции техобслуживания скопилось много автомашин, то целесообразнее покинуть систему; если при посадке самолета полоса приземления занята, он покидает аэродром.

Если поступившее требование застает все каналы обслуживания занятыми и становится в очередь, но находится в ней ограниченное время, после чего, не дождавшись обслуживания, покидает систему, то имеем систему с ограниченным ожиданием. Примером такого ''нетерпеливого требования'' может быть автосамосвал с раствором. Если время ожидания велико, то во избежание затвердения раствора он может быть разгружен на другой стройке.

Если поступившее требование, застав все каналы обслуживания занятыми, вынуждено ожидать своей очереди до тех пор, пока оно не будет обслужено, то имеем систему с ожиданием без ограничения. Пример: самолет, который находится на аэродроме до тех пор, пока не освободится взлётная полоса.

5. По способу обслуживания требования – на системы с приоритетом, по мере поступления, случайно, последний обслуживается первым.

Иногда в этом случае говорят о дисциплине обслуживания.

Если СМО охватывает несколько категорий требований и по каким-либо соображениям необходимо соблюдать различный подход к их отбору, то имеем систему с приоритетом. Так, при поступлении изделий на стройплощадку в первую очередь монтируются те, которые необходимы в данный момент.

Если освободившийся канал обслуживает требование, ранее других поступившее в систему, то имеем СМО с обслуживанием требований по мере их поступления. Это наиболее распространенный класс систем. Например, покупатель, подошедший первым к продавцу, обслуживается первым. Этот способ выбора требований на обслуживание применяется там, где в силу технических, технологических и организационных условий требования не могут опережать друг друга.

Если требования из очереди в канал обслуживания поступают в случайном порядке, то имеем систему со случайным выбором требований на обслуживание. Пример: выбор слесарем-сантехником одной из нескольких заявок, поступивших от жильцов на устранение некоторых неисправностей (при условии, что заявки на одну и ту же неисправность). Выбор здесь, как правило, определяется местоположением самого рабочего: он выбирает заявку, наиболее близко расположенную к нему, если никакие другие факторы не предопределяют другой выбор.

Последний обслуживается первым. Этот способ выбора требований на обслуживание используют в тех случаях, когда удобнее или экономнее брать на обслуживание требование, позже всех поступившее в систему. Так, при укладке строительных изделий в штабель удобнее брать из штабеля (очереди) изделие, поступившее последним.

6. По характеру обслуживания требований – на системы с детерминированным и случайным временем обслуживания. Если интервал времени между моментом поступления требования в канал обслуживания и моментом выхода требования из этого канала постоянно, то имеем систему с детерминированным временем обслуживания, в противном случае – со случайным.

7. По числу каналов обслуживания – на одноканальные и многоканальные системы. Так, при монтаже дома может быть использован один подъёмный кран (один канал обслуживания) или несколько (много каналов) для обслуживания прибывающих на стройку изделий.

8. По количеству этапов обслуживания – на однофазные и многофазные системы. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, т.е. выполняют различные операции обслуживания, то имеем многофазную СМО. Примером двухфазной СМО может быть, например, обслуживание автомобилей на станции техобслуживания (мойка, диагностирование).

9. По однородности требований, поступающих на обслуживание, – на системы с однородными и неоднородными потоками требований. Так, если под погрузку прибывают автомобили одной грузоподъёмности, то такие требования называются однородными, если разной грузоподъёмности – то неоднородными.

10. По ограниченности потока требований – на замкнутые и разомкнутые системы. Если поток требований ограничен, и требования, покинувшие систему, могут в неё возвращаться, то имеем замкнутую систему, в противном случае – разомкнутую. Примером замкнутой системы может служить система ЭВМ – пользователь, в которой пользователь, как правило, прикрепляется к ЭВМ и обслуживается ею в течение определённого времени.

Если изучены или заданы входящие потоки требований, механизм (число каналов обслуживания, продолжительность обслуживания и т.д.) и дисциплина обслуживания, то это дает основание для построения математической модели системы.

В задачах анализа СМО в качестве основных показателей функционирования системы могут быть использованы:

- вероятность простоя  канала обслуживания ;

- вероятность того, что  в системе находится n требований – ;

- среднее число требований, находящихся в системе (сфере  обслуживания) ;

- среднее число требований, находящихся в очереди, , где –  число каналов обслуживания;

- среднее время ожидания  требований в очереди :

для разомкнутой системы где – интенсивность поступления потока требований в систему;

для замкнутой системы где m – число требований, нуждающихся в обслуживании;

- среднее время ожидания  требований в системе ;

- среднее число свободных  каналов обслуживания

- среднее число занятых  каналов обслуживания

- среднее число заявок, находящихся на обслуживании  в период формула Литтла, где – средняя интенсивность поступления требований, – средняя продолжительность обслуживания одной заявки).

 

 

 

3 Основные характеристики  СМО

 

СМО включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (канал обслуживания), выходящий поток требований (обслуженных заявок).

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы, в основном, не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных причин. После обслуживания заявки канал освобожден и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться не обслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах на входе CMО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО не обслуженными.

Схема СМО изображена на рисунке 2

 

 

Рисунок 2 - Схема системы массового обслуживания

 

 

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы), линии связи, автомашины и т.д.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

СМО является предметом изучения теории массового обслуживания.

Цель теории массового обслуживания - выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее организации (параметров).

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная  способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это же время.

1.3. Средняя продолжительность  периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

2.1. Среднее время ожидания  заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания  заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения  времени ожидания заявки в  очереди.

2.6. Закон распределения  времени пребывания заявки в  СМО.

2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары "СМО - потребитель", где под "потребителем" понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени, и т.п.).

Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс. Поскольку моменты времени Ti и интервалы времени поступления заявок T, продолжительность операций обслуживания Тобс, простоя в очереди Tоч, длина очереди lоч - случайные величины, то характеристики состояния систем массового обслуживания носят вероятностный характер. Поэтому для решения задач теории массового обслуживания необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. построить и проанализировать его математическую модель.

Математическое изучение функционирования СМО значительно упрощается, если протекающий в ней случайный процесс является марковским. Чтобы случайный процесс был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были (простейшими) пуассоновскими.