Шпаргалка по "Метрологии и стандартизации"

- вычислить коэффициент  вариации для данной выборки;

- вычислить среднеквадратическое  отклонение результата измерения S_x;

- вычислить доверительные  границы e случайной составляющей погрешности результата измерения;

- вычислить доверительные  границы Q неисключенных остатков систематической составляющей погрешности результата измерения;

- вычислить доверительные  границы общей погрешности результата  измерения;

- записать результат прямого измерения.

 

Проверку гипотезы, что  результаты наблюдений принадлежат  нормальному распределению, следует  проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%.

Для определения доверительных  границ погрешности результата измерения доверительную вероятность  Р принимают равной 0,95.

В тех случаях, когда  измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной  вероятности Р = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности Р = 0,99.

В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо вероятности Р = 0,99 принимать более высокую доверительную вероятность.

 

Аналитический способ проверки соответствия опытного

распределения нормальному

Поскольку рассмотренная  статистическая обработка результатов наблюдения основана на использовании нормального закона распределения случайных величин, необходимо прежде всего убедиться, не противоречит ли распределение результатов в данной выборке нормальному закону.

При числе результатов наблюдений n>50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является один из критериев: c² Пирсона или w² Мизеса – Смирнова.

При числе результатов  наблюдений  15<n<50 нормальность их распределения проверяют при помощи составного критерия, рассмотренного ниже.

При числе результатов  наблюдений n £ 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по методике, предусмотренной ГОСТ 8.207 – 76, возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Составной критерий

Критерий 1. Вычисляют отношение

,

где S^* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

.

Результаты наблюдений группы можно  считать распределенными нормально, если

,

где и - квантили распределения, получаемые из приложения 1  по n, q/2 и (1-q/2), причем q – заранее выбранный уровень значимости критерия.

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превзошли значение , где S – оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

,

- верхняя квантиль распределения  нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности Р/2.

Значения Р определяют из таблицы приложения 2 по выбранному уровню значимости q₁ и числу результатов наблюдений n. При уровне значимости, отличном от предусмотренного в табл. , значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов  наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости q, а для критерия 2 - q₁, то результирующий уровень значимости .

В случае, если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считается, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Вычисление  наиболее вероятного значения

результата  измерения

Наиболее вероятным  значением искомого результата является среднее арифметическое выборки, которое  определяется по формуле:

Вычисление  среднеквадратического отклонения

результата наблюдения

Выборочное СКО результата наблюдения вычисляют  обычно по формуле  Бесселя:

 

,

где x_i – i-й результат наблюдений;

- результат измерения (среднее  арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n – число результатов наблюдений.

Оценка анормальности  отдельных результатов наблюдений

Если выборка в целом принадлежит к нормальному закону распределения, но возникают подозрения в анормальности некоторого отдельного наблюдения x_k , результат которого заметно отличается от других, следует воспользоваться критерием анормальности результатов измерений.

Вычисляется показатель анормальности

Затем, задавшись вероятностью g, для данного объема  выборки n из приложения 4, находят параметр b. Если результат x_k принадлежит к данной нормальной совокупности, то с вероятностью g можно утверждать, что абсолютное значение показателя анормальности V_k не превысит b. Если V_k ³ b результат анормален и должен быть исключен из выборки ( после этого значения и S  должны быть вычислены заново).

Вычисление  среднеквадратического отклонения результата

измерения

Средне квадратическое отклонение результата измерения оценивают  по формуле

В формуле величина характеризует точность как оценки математического ожидания случайной величины x. Чем больше n, тем меньше  и, тем меньше значение случайной составляющей погрешности измерения.

Определение доверительной  границы

случайной составляющей погрешности измерения

Значение доверительной  границы e вычисляется по формуле

Коэффициент доверия t_g (коэффициент Стьюдента)  в общем случае зависит от объема выборки n и принятой вероятности g; значения его, вычисленные на основании распределения Стьюдента, даны в приложении 1. При n³30 значения коэффициента доверия мало зависят от объема выборки; для вероятности g=0.95 можно в соответствии с распределением Гаусса полагать, что t_g » 2.

 

Определение доверительной  границы неисключенных

остатков систематической  составляющей погрешности

результата  измерения

Неисключенная систематическая  погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых  могут быть неисключенные систематические погрешности:

метода;

средств измерений;

вызванные другими источниками.

В качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности результата измерения неисключенные систематические погрешности средств измерений каждого типа и погрешности поправок рассматривают как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.

Границы неисключенной  систематической погрешности Q результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле

,

где Q_{i -} граница i-ой неисключенной систематической погрешности;

m - число этих составляющих;

К - коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности, числа составляющих и соотношения между ними. Для доверительной вероятности g=0.95 принимают коэффициент доверия К=1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент принимают равным 1,4, если число суммируемых погрешностей более 4 (m>4).

Определение доверительной  границы общей

погрешности  результата измерения

Доверительная граница D общей погрешности результата измерения при наличии совокупности как неисключенной составляющей систематической, так и случайной погрешности производится в зависимости от соотношения величин  Q_i и .

В случае, если  , то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

D = e

Если  , то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

D = Q

В случае, если неравенства не выполняются, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределения случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматривая их как случайные величины ( см выше). Если доверительные границы случайных погрешностей найдены в соответствии с этими рекомендациями, допускается границы погрешности результата измерения D вычислять по формуле

,

где К –коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

S_S - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Оценку суммарного среднего квадратического  отклонения результата измерения вычисляют по формуле

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле

Запись результата прямого измерения

При симметричной доверительной погрешности  результаты измерений представляют в форме

где - результат измерения.

Числовое значение результата измерения  должно оканчиваться цифро того же разряда, что и значение погрешности D.

При отсутствии данных о виде функции  распределений составляющих погрешности  результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа  погрешностей, результаты измерений  представляют в форме

В случае, если границы  неисключенной систематической  погрешности вычислены по методике приведенной выше, следует дополнительно указывать доверительную вероятность Р.

ВОПРОС 14 Определение результатов косвенных измерений

и оценивание их погрешностей

Искомое значение физической величины А находят на основании результатов измерений аргументов а₁, ..., а_i, ..., а_m, связанных с искомой величиной уравнением

A = f(а₁, ..., а_i, ..., а_m).

Функция  f должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения  обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

Основные положения рекомендации устанавливаются для оценивания косвенно измеряемой величины и погрешностей результата измерения;

при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями  измерений аргументов;

при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов;

для коррелированных погрешностей измерений результатов при наличии  рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

Критерий отсутствия корреляционной связи между

погрешностями результатов измерений аргументов

При условии, что распределение  случайных погрешностей результатов  измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства

,

где t_q – коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы f = n-2;

- оценка коэффициента корреляции  между погрешностями аргументов a_h  и a_j;

a_hi, a_ji – результаты  i-го измерения  h-го и j-го аргументов;

n_j=n_i=n -  число измерения каждого из аргументов.

Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов.

Косвенные измерения  при линейной зависимости

Искомое значение А связано с m измеряемыми аргументами a₁, a₂,...,a_m уравнением