Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Января 2013 в 00:57, контрольная работа
Задача 1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость? Построить экономико - математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Задача 1 - Задача 4
Определим наличие тренда методом Фостера-Стюарта.
K t = 1, если y1 > yt-1 > ... >y1, 1, если yt < у t-1 <... < y1
0, в остальных случаях 0, в остальных случаях
S = ∑ St = ∑ (kt + lt);
d = ∑ dt = ∑ (kt – lt).
t |
yt |
kt |
lt |
St |
dt | |
1 |
3 |
- |
- |
- |
- | |
2 |
7 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
3 |
10 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
4 |
11 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
5 |
15 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
6 |
17 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
7 |
21 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
8 |
25 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
9 |
23 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
Итого: |
7 |
7 | ||||
С помощью величины S проверяется гипотеза о наличии тенденции в дисперсиях:
|S - μ| |7 – 3,858|
ts = ─── = ────── =2,44
σ1 1,288
На основе величины d проверяются тенденции
в средней:
|d - 0| |7 - 0|
Td = ─── = ──── =3,56
σ2 1,964
По таблице определили значения неизвестных параметров: μ = 3.858; σ1 = 1,288 ; σ2 = 1,964 .
Проверка осуществляется на основе критерия Стьюдента: tKp(a = 0,05; v = п-1 = 9 -1 = 8) = 2,306.
Т. к. 2,44>2,306, то в ряду динамики есть тенденции в дисперсии. Т.к. 3,56>2,306, то в ряду динамики есть тенденция в средней.
Построим модель ŷ =аа + a1t
Неизвестные параметры найдем из системы:
a0 * n + a1 * ∑t = ∑y,
a0 * ∑t + a1 * ∑t² = ∑ yt.
∑t 45 ∑y 132 ∑(t – t)(y – y) 162
t = ── = ── = 5, y = ── = ── = 14,67, a1 = ──────── = ─── = 2,7;
n
9
n 9
a0 = y – a1 t = 14,67 - 2,7 * 5 = 1,17. => ŷt = 1,17 + 2
T |
y1 |
t-t |
(t – t)² |
y - y |
(t – t)(y - y) |
ŷt | |
1 |
3 |
-4 |
16 |
-11,67 |
46,67 |
3,87 | |
2 |
7 |
-3 |
9 |
-7,67 |
23,00 |
6,57 | |
3 j |
10 |
-2 |
4 |
-4,67 |
9,33 |
9,27 | |
4 |
11 |
-1 |
1 |
-3,67 |
3,67 |
11,97 | |
5 |
15 |
0 |
0 |
0, 33 |
0,00 |
14,67 | |
6 |
17 |
1 |
1 |
2,33 |
2,33 |
17,37 | |
7 |
21 |
2 |
4 |
6,33 |
12.67 |
20,07 | |
8 |
25 |
3 |
9 |
10,33 |
31,00 |
22,77 | |
9 |
23 |
4 |
16 |
8,33 |
33,33 |
25,47 | |
Итого: |
45 |
132 |
0 |
60 |
162,00 |
132,03 |
t |
yt |
ŷt |
εt |
εt ² |
ТП |
(εt – εt-1 )² | |
1 |
3 |
3,87 |
-0,87 |
0,7569 |
- |
||
2 |
7 |
6,57 |
0,43 |
0,1849 |
0 |
1,6900 | |
3 |
10 |
9,27 |
0,73 |
0,5329 |
1 |
0.0900 | |
4 |
11 |
11,97 |
-0,97 |
0,9409 |
1 |
2.8900 | |
5 |
15 |
14.67 |
0,33 |
0,1089 |
1 |
1,6900 | |
6 |
17 |
17,37 |
-0,37 |
0,1369 |
1 |
0,4900 | |
7 |
21 |
20,07 |
0,93 |
0,8649 |
0 |
1,6900 | |
8 |
25 |
22,77 |
2,23 |
4,9729 |
1 |
1,6900 | |
9 |
23 |
25,47 |
-2,47 |
6,1009 |
- |
22,0900 | |
Итого: |
45 |
132 |
132,03 |
-0,03 |
14,6001 |
5 |
32,3200 |
εt ─ yt |
εt • εt - 1 | |
0, 2900 |
||
0,0 614 |
- 0, 3741 | |
0, 0730 |
0, 3139 | |
0, 0882 |
- 0,7081 | |
0, 0220 |
- 0, 3201 | |
0, 0218 |
- 0, 1221 | |
0, 0443 |
- 0, 3441 | |
0, 0892 |
2, 0739 | |
0, 1074 |
- 5, 5081 | |
Итого: |
0,7973 |
- 4,9888 |
Оценим адекватность построенной модели.
а) Проверку случайности уровней остаточной компоненты проверим на основе критерия поворотных точек. Общее число поворотных точек равно 5.
Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить так:
2(n – 2) 16n - 29
p>──── –- 1,96√─────
3 90
( р - количество поворотных точек в случайном ряду, 1,96 – квант нормального распределения для 5%-го уровня значимости).
2(9 – 2) 16*9 – 29
q = ───── - 1,96 √────── = 2,45 = 2.
3 90
словие случайности
б) Проверку отсутствия автокорреляции проведем двумя методами: по d-критерию Дарбина-Уотсона (d1 = 1,08 ; d2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции r(1) = 0,36.
n
∑ (εt – εt-1)²
t=2 32,3200
d= ───── = ───── = 2,21
n 14,6001
∑ε t ²
t=1
Т.к. d >2, то имеет место отрицательная автокорреляция. Поэтому находим d´ = 4 — 2,21 = 1,79.
Т.к. 1,36 < 1,79 < 2, то ряд остатков
не коррелирован.
n
∑εt εt-1 -4,9888
r(1)=────── = ───── = - 0,34.
n 14,6001
∑εt²
t=1
Т.к. |- 0,34| < 0,36, то уровни ряда остатков независимы.
в) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию.
ε max - ε min
RS = ─────; εmax = 2,23; εmin = - 2,47;
Sε
2,23 + 2,47
RS = ─────── = 3,48.
1,3509
Т. к. 2,7 < 3,48 < 3,7, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя y(t) на 2 шага вперед.
Строим точечный и интервальный прогноз на 2 шага вперед.
ŷ10 =1,17 + 2,7*10 = 28,17; ŷ11 =1,17 + 2,7*11 = 30,87.
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,3, следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = m - 2 = 9 - 2 = 7 равен tα =1,12.
Шаг |
Прогноз |
Верхняя граница |
Нижняя граница |
1 |
28,17 |
26,17 |
30,17 |
2 |
30,87 |
28,75 |
32,98 |
Модель Брауна
Yp (t) = а0 (t -1) + а1(t -1) * к, где к - количество шагов прогнозирования.
a1(t) = а1 (t -1) + а2 * E(t), E(t) = Y(t0 - Yp(t), а0(t) = a0 (t -1) + а1 (t - 1) +
(1 - β2) *E(t).
Начальные оценки параметров получим но первым пяти точкам при помощи
метода наименьших квадратов:
t |
Y(t) |
t² |
Y(t)*t | |
1 |
3 |
1 |
3 | |
2 |
7 |
4 |
14 | |
3 |
10 |
9 |
30 | |
4 |
11 |
16 |
44 | |
5 |
15 |
25 |
75 | |
Итого: |
15 |
46 |
55 |
166 |
Среднее значение: |
3 |
9,2 |
11 |
33,2 |
a1(0) =2,8; a0(0) = 9,2 – 2,8 * 3 = 0,8.
При α = 0,4; k = 1; β =1 – 0,4 = 0,6. Получим:
t |
Y(t) |
a0(t) |
a1(t) |
Yp(t) |
E(t) |
E²(t) |
ТП |
(E(t)-E(t-1))2 |
E(t)/Y(t) щ |
||
0,80 |
2.80 |
- |
- |
- | |||||||
1 |
3 |
3,22 |
2,70 |
3,60 |
-0,60 |
0,3600 |
- |
- |
0,2000 | ||
2 |
7 |
6,61 |
2,88 |
5,92 |
1,08 |
1,1664 |
1 |
2,8224 |
0,1543 | ||
3 |
10 |
9,82 |
2,96 |
9,49 |
0,51 |
0,2621 |
0 |
0,3226 |
0,0512 | ||
4 |
11 |
11,64 |
2,67 |
12,77 |
-1,77 |
3,1485 |
1 |
5,2276 |
0,1613 | ||
5 |
15 |
14,75 |
2,78 |
14,31 |
0.69 |
0,4711 |
1 |
6,0555 |
0,0458 | ||
6 |
17 |
17,19 |
2,70 |
17,54 |
-0,54 |
0,2889 |
1 |
1,4980 |
0,0316 | ||
7 |
21 |
20,60 |
2,88 |
19,89 |
1,11 |
1,2273 |
0 |
2,7073 |
0.0528 | ||
8 |
25 |
24,45 |
3,12 |
23,48 |
1,52 |
2,3193 |
1 |
0,1723 |
0.0609 | ||
9 |
23 |
24,65 |
2,39 |
27,57 |
-4.57 |
20.8968 |
- |
37.1398 |
0.1988 | ||
Итого: |
-2,57 |
30,1406 |
5 |
55,9456 |
0,9566 | ||||||