Контрольная работа по "Ценообразованию"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

 

Факультет ФНО

Специальность Бакалавр Экономики

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине  «Экономико – математические методы и прикладные модели»

 

Выполнил:

Студент  Резванова Элина Марфельевна

Курс  3

Группа №  ФБ-ЭФ 303

Личное дело № 10ФФД20283

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

 

 

                                              Задача 1

 Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется,  по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико - математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Задача 2

 Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы  сырья
	А	Б	В	Г
І ІІ ІІІ	2 1 2	1 2 4	3 4 1	2 8 1	200 160 170
Цена изделия	5	7	3	6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья І и ІІ видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья ІІІ вида;
• Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Задача 4

 Исследовать динамику  экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы  финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Номер наблюдения (t=1, 2, ..., 9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	7	10	11	15	17	21	25	23

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t) = a0 +a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t) = a0 + a1k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использования компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

 

 

Задача 1

Решение:

Составим экономико  – математическую модель.

І набор – обычный

ІІ набор – улучшенный

 

 

удобрения	Необходимый min для 1 газона	Число кг в 1 наборе
		І	ІІ
Азотные	10	3	2
Фосфорные	20	4	6
Калийные	7	1	3

 

Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед.

Обозначим через X и Y количество обычных и улучшенных наборов удобрений, соответственно.

1. Составим целевую функцию и систему ограничений.

                   _

              F( x) = 3x + 4y → min

Система ограничений:

3x + 2y ≥ 10; (1)

4x + 6y ≥ 20; (2)

x + 3y ≥ 7; (3)

x, y ≥ 0;    

2. По ограничениям строим область всех допустимых решений.

а) Определим множество решений 1-го неравенства. Построим линию по точкам: (0;5) и (2;2). Т. к. 3 * 0 + 2 * 0 = 0 < 10 , то выбираем верхнюю полуплоскость.

б)  Определим множество решений 2-го неравенства. Построим линию по точкам: (5;0) и (2;2). Т. к. 4 *  0 + 6 * 0 = 0 < 20 , то выбираем верхнюю полуплоскость.

в) Определим множество решений 3-го неравенства. Построим линию по точкам: (7;0) и (1;2). Т. к. 1* 0 + 3 * 0 = 0 < 7, то выбираем верхнюю полуплоскость.

3. Пересечением всех плоскостей является неограниченная область ABCDEF.

4. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину ∆(3;4) с началом координат.

5. Построим линию уровня 3x +4 y =0 по точкам: (0;0) и (4;-3). Она перпендикулярна вектору- градиенту.
6. При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору-градиенту.  Точкой максимума при таком движении линии уровня будет точка С (2;2), а минимальное значение функции Fmin = F(2;2) =3 * 2 + 4 * 2 = 14 ден. ед.

Ответ: 2 обычных и 2 улучшенных набора удобрений для газонов нужно купить, чтобы минимизировать стоимость.

 Построенная область допустимых решений не ограничена сверху, следовательно, если решать задачу на максимум, то решений не найдем.

 

 

 

 

 

Задача 2

Решение:

 Сформулируем прямую оптимизационную задачу:

         _         

              F(x) = 5x1 + 7x2 + 3x3  + 6x4 → max

 Система ограничений:

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 200,

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 ≤ 160,

2x1 + 4x2 + x3 + x4 ≤ 170,

x1, 2, 3, 4 ≥ 0

 Найдем оптимальное решение с помощью настройки EXCEL Поиск решения:                                                                                                                                        

 

Оптимальное решение задачи: x1 = 80; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 10;

Fmax = 5 * 80 + 7 * 0 + 3 * 0 + 6 * 10 =460 ден. ед. ‾‾‾‾‾‾‾‾‾

По оптимальному плану  следует производить изделия типа А и Г. Изделия типа Б и В убыточны, затраты на ресурсы превышают цену изготовления из них изделий.

Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

G(y) = 200 y1 + 160 y2 + 170 y3 →min

Система ограничений:

2 y1  + y2 + 2 y3   ≥   5;

y1 + 2 y2 + 4 y3  ≥     7;

3 y1 + 4 y2 + y3  ≥ 3;

2 y1 + 8 y2 + y3  ≥ 6;

y1, 2, 3,   ≥ 0    

Координаты Xmax подставляем в 1 систему. Получаем:

2 * 8 0 + 0 + 3 * 0 + 2 * 10 = 180 < 200,

80 + 2 * 0 + 4 * 0 + 8 * 10=160,   

2 * 80 + 4 * 0 + 0 + 10 = 170.

Первое ограничение выполняется как строгое неравенство.

Поэтому, y1 = 0 (по второй теореме двойственности).

 Т.к. х1 > 0 и х₄ > 0, то

2y1 + y2 + 2y3 = 5;          0 + y2 + 2y3 = 5;        y3 = 34/15;

2y1 + 8y2 + y3 = 6    0 + 8y2 +y3 = 6      y2 = 7/15

 

Y оптим. = (0; 7/15; 34/15)

При подстановке Y оптим. в целевую функцию получается, что G min = 200 * 0 + 160 * 7/15 + 170 * 34/15 = 460.   

Проанализируем использование  ресурсов в оптимальном плане.

Недефицитным  оказалось сырье I типа, поскольку y1 = 0. Острее ощущается дефицитность сырья III типа (yз =34/15), чем сырья II типа (y2 =7/15). Увеличение запаса сырья II и III типа на 1 ед. приведет к росту прибыли, изменение запаса сырья I типа не влияет на выручку.

Определим, как изменятся  общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида.

Допустим,  что изменения проходят  в пределах   устойчивости  двойственных   оценок,  т.е. структура оптимального плане не изменится и х₂ = х₃ = 0                                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                                                                                                                        

  x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = 160+10,          x1 +8x₄ =170 ,                  х4 = 35/3,

2х1 +4x2 ++ x3 + х₄ = 170 – 5.        2x1 + x4 = 165.               x1 = 230/3

F_max = 5*230/3 + 7*0 + 3*0 + 6*35/3 = 1360/3

 Выручка уменьшилась на 460 -1360/3=20/3 ден. ед.

Определим целесообразность включения в план изделия «Д»  ценой 10 ден. ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Вычислим  ∆ = 2*0 + 2*7/15 + 2*34/15*10 = - 68/15 < 0, т.е. затраты на производство данного изделия не превышают его цену, следовательно, включать такое изделие в план выгодно.

 

Задача 4

Решение:

Сгладим ряд  с помощью простой скользящей средней.

 

t	Уt	Расчет	Выровненный ряд
1	3
2	7	1/3(3 + 7 +10)	6,7
3	10	1/3(7 + 10 + 11)	9.3
4	11	1/3(10 + 11 + 15)	12,0
5	15	1/3(11 + 15 + 17)	14,3
6	17	1/3(15 + 17 + 21)	17.7
7	21	1/3(17 + 21 + 25)	21,0
8	25	1/3(21 + 25 + 23)	23,0
9	23