Управление Качеством

 

Свойства плотности распределения

 

1) Плотность распределения  – неотрицательная функция.

 

2) Несобственный интеграл  от плотности распределения в  пределах от - до равен единице.

                                                                                                    (6.10)

 

Дисперсия случайной величины

 

Мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается   в русской литературе и   (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение   или  . Квадратный корень из дисперсии, равный  , называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

 

Ассиметрия

 

Коэффициент асимметрии в теории вероятностей — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

Пусть задана случайная величина  , такая что  . Пусть   обозначает третий центральный момент:  , а   —стандартное отклонение  . Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой:

.                                                                                                                     (6.11)

 

 

Квантили

 

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения Fx (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение Fx (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины  , имеющей функцию распределения Fx (x), называют решение xp уравнения Fx (x) = p, p   (0, 1). Для некоторых p уравнение Fx (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75;

децили - квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

 

Хи-Квадрат

 

Распределение   (хи-квадрат) с   степенями свободы — это распределение суммы квадратов   независимых стандартных нормальных случайных величин.

Пусть   — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть:  . Тогда случайная величина имеет распределение хи-квадрат с   степенями свободы, то есть  .

 

 

Совместные функции распределения случайных величин

 

Две (и более) случайные величины можно рассматривать совместно. Совместная (кумулятивная) функция распределения двух случайных величин X и Y определяется так

.                                                     (6.12)

Так же, как и в одномерном случае, функция f(x, y) называется плотностью вероятности.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если их совместная плотность вероятности равна произведению частных плотностей.

f(x, y)= f(x) f(y) .                                                                                                          (6.13)

                     

Свойства совместных случайных величин

Ковариацией случайных величин X и Y называется (детерминированная) величина

,                                                    (6.14)

где f(x, y)  – совместная плотность вероятности.

Величина

                                                                                            (6.15)

называется корреляцией случайных величин X и Y.

Если случайные величины X и Y независимы, то их ковариация и корреляция равны нулю. Обратное не верно.

Для совместных распределений многомерных случайных величин X1,…, Xn ковариационная матрица C

cij=cov(Xi, Xj),     i, j=1,…, n                                                                                        (6.16)

играет ту же роль, что и дисперсия в одномерном распределении.

 Оценивание основных характеристик распределения

Одна из основных задач прикладной статистики – оценивание по выборочным данным характеристик генеральной совокупности, таких, как математическое ожидание, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Точечные оценки строятся очевидным образом – используют выборочные аналоги теоретических характеристик. Для получения интервальных оценок приходится использовать асимптотическую нормальность выборочных моментов и функций от них.

Пусть исходные данные – это выборка x1, x2, … , xn , где n – объем выборки. Выборочные значения x1, x2, … , xn рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2, … , Xn с общей функцией распределения F(x) = P (Xi < x), i = 1,2, …, n. Поскольку функция распределения произвольна (с точностью до условий регулярности типа существования моментов), то рассматриваемые задачи доверительного оценивания характеристик распределения являются непараметрическими. Существование моментов является скорее математическим ограничением, чем реальным, поскольку практически все реальные статистические данные финитны (т.е. ограничены сверху и снизу, например, шкалой прибора). 

В расчетах будут использоваться выборочное среднее арифметическое

 = (X1 + X2  +… + X n ) / n,                                                                                     (6.17)

выборочная дисперсия

 = { (X1 –  )2 + (X2 –  )2  +… + (X n –  )2 } / (n-1)                                          (6.18)

и некоторые другие выборочные  характеристики, которые мы введем позже. 

Точечное и интервальное оценивание математического ожидания 

Точечной оценкой для математического ожидания в силу закона больших чисел является выборочное среднее арифметическое  . В некоторых случаях могут быть использованы и другие оценки. Например, если известно, что распределение симметрично относительно своего центра, то центр распределения является не только математическим ожиданием, но и медианой, а потому для его оценки можно использовать выборочную медиану.  

Нижняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид

 – U(p) s0 / n1/2 ,                                                                                                       (6.19)

где:

 – выборочное среднее арифметическое;

p – доверительная вероятность (истинное значение   математического ожидания находится между нижней       доверительной границей и верхней доверительной границей с           вероятностью, равной доверительной);

U(p) – число, заданное равенством Ф(U(p)) = (1+ p)/2, где Ф(х) –        функция стандартного нормального распределения с     математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Например, при p       =  95% (т.е. при р = 0,95) имеем U(p) = 1,96. Функция U(p)имеется в большинстве литературных источников по теории вероятностей и математической статистике; 

s0 – выборочное среднее квадратическое отклонение          (квадратный корень из описанной выше выборочной         дисперсии).

Верхняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид

 + U(p) s0/ n1/2                                                                                                          (6.20)

Иногда рекомендуют сначала проверить нормальность результатов наблюдений, а потом, в случае принятия гипотезы нормальности, рассчитывать доверительные границы с использованием квантилей распределения Стьюдента. Однако проверка нормальности - более сложная статистическая процедура, чем оценивание математического ожидания. Кроме того, применение одной статистической процедуры, как правило, нарушает предпосылки следующей процедуры, в частности, независимость результатов наблюдений. Поэтому цепочка статистических процедур, следующих друг за другом, как правило, образует статистическую технологию, свойства которой неизвестны на современном уровне развития прикладной статистики.

Точечное и интервальное оценивание медианы 

Точечной оценкой для медианы является выборочная медиана.

Поскольку в случае нормального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием, то каких-либо специальных способов ее оценивания в классическом случае нет.

Точечное и интервальное оценивание дисперсии 

Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия  . Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Доверительные границы находятся с помощью величины

d2 = (m 4  - ((n – 1) /n ) 4    ) / n ,                                                                               (6.21)

где m 4  - выборочный четвертый центральный момент, т.е.

m 4  =  { (X1 –  ) 4 + (X2 –  )  4  +… + (X n –  ) 4 } / n .                                        (6.22)

Нижняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид

 - U(p)d ,                                                                                                                   (6.23)

где:

 – выборочная дисперсия;

U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше);

d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше.

Верхняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид

 + U(p)d ,                                                                                                                 (6.24)

где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.

При выводе приведенных соотношений используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии, установленная, например, в учебнике по математической статистике. Соответственно доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим. В классическом случае точечная оценка имеет тот же вид, а вот доверительные границы находят с помощью квантилей распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, на 1 меньшим объема выборки. Отметим, что в случае нормального распределения четвертый момент в 3 раза больше квадрата дисперсии, а потому можно оценить d2 как (2  ) / n . Это дает быстрый способ для интервальной оценки дисперсии в нормальном случае.

Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения 

Точечной оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение, т.е. неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения s0 – оценивается как дробь

d2 / (4   ).                                                                                                                   (6.25)

Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения  исходной случайной величины имеет вид

- U(p)d / (2 s0) ,                                                                                                         (6.26)

где: 

 – выборочная дисперсия;

U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше);

d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше при оценивании дисперсии.

Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид:

 + U(p)d / (2  ) ,                                                                                                     (6.27)

где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.

Законы распределения случайных величин в управлении качеством

Статистические методы играют важную роль в объективной оценке количественных и качественных характеристик процесса и являются одним из важнейших элементов системы обеспечения качества продукции и всего процесса управления качеством. Неслучайно основоположник современной теории менеджмента качества Э. Деминг много лет работал в Бюро по переписи населения и занимался именно вопросами статистической обработки данных. Он придавал огромное значение статистическим методам.