Планирование эксперемента

Оглавление

 

 

Аннотация

 Данная работа выполнена  на 22 листах. В ней рассмотрены: задачи с несколькими выходными параметрами, принятие решений перед планированием эксперимента, дробная реплика, регрессионный анализ. Работа содержит две таблицы, одну блок-схему, а также  сделаны выводы, приведен список используемой литературы.

 

 

 

1 О задачах с несколькими выходными параметрами

 

Задачей планирования эксперимента является разработка рекомендаций или производственного процесса на основе исследования предварительных опытных данных для дальнейшей их реализации и построения математической модели исследуемого процесса с целью дальнейшего прогнозирования производства.

Выходные параметры – это реакции (отклики) на воздействие входных параметров (факторов). Отклик зависит от специфики исследования.

 Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные преимущества. Но на практике чаще всего приходиться учитывать несколько выходных параметров. Так, например, при производстве аппаратов воздушного охлаждения приходится учитывать, физико-механические, экономические, технико-технологические и другие параметры (надежность, долговечность, безопасность, рентабельность и так далее). Математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно.

Необходимо исследовать возможность уменьшения числа выходных параметров, то есть воспользоваться корреляционным анализом. Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения цели исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения: да, нет, хорошо, плохо. (2)

В ходе исследования могут меняться априорные представления об объекте исследования. Что приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации.

 

Корреляция – это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции

Между всевозможными парами параметров необходимо вычислить коэффициент парной корреляции, который является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Если обозначить один параметр через у1, а другой – через у2, и число опытов, в которых они будут измеряться, - через N, так, что u =1,2,3…,

Где u – текущий номер опыта, то коэффициент парной корреляции r – вычисляется по формуле:

 

 

 

 

Здесь

 

     и    

 

где - средние арифметические соответственно для у1 и у2.

 

Значения коэффициента парной корреляции могут лежать в пределах от -1 до +1. Если с ростом значения одного параметра возрастает значение другого, у коэффициента будет знак плюс, а если уменьшается, то минус. Чем ближе найденное значение к единице, тем сильнее значение одного параметра зависит от того, какое значение примет другой, то есть  между такими параметрами существует линейная связь, и при изучении процесса можно рассматривать только один из них. Необходимо помнить, что коэффициент парной корреляции как мера тесноты связи имеет четкий математический смысл только при линейной зависимости между параметрами и в случае нормального их распределения.

Для проверки значимости коэффициента парной корреляции нужно сравнить его значение с критическими (табличными) значением r, которые приведены в таблице 1.1. Для пользования этой таблицей нужно знать число степеней свободы f=N-2 и выбрать определенный уровень значимости, например, равный 0,05. Такое значение уровня значимости называют еще     5%-ным уровнем риска, что соответствует вероятности верного ответа при проверке нашей гипотезы Р=1-α=0,95, или 95%. Это значит, что в среднем только в 5% случаев возможна ошибка при проверке гипотезы.

Таблица 1.1

число степеней свободы f	критическое значение r	число степеней свободы f	критическое значение r	число степеней свободы f	критическое значение r
1	0,997	9	0,602	17	0,456
2	0,950	10	0,576	18	0,444
3	0,878	11	0,553	19	0,433
4	0,811	12	0,532	20	0,423
5	0,754	13	0,514	30	0,349
6	0,707	14	0,497	50	0,273
7	0,666	15	0,482	80	0,217
8	0,632	16	0,468	100	0,195

 

В практических исследованиях 5%-ный уровень риска применяется наиболее часто, но возможны ситуации, в которых, например, требуется 1%-ный уровень риска. При этом возрастает надежность ответа. Проверка гипотезы сводится к сравнению абсолютной величины коэффициента парной корреляции с критическим значением. Если экспериментально найденное значение r меньше критического, то нет оснований считать, что имеется тесная линейная связь между параметрами, а если больше или равно, то гипотеза о корреляционной линейной связи не отвергается.

  При высокой значимости  коэффициента корреляции любой  из двух анализируемых параметров  можно исключить из рассмотрения  как не содержащий дополнительной информации об объекте исследования. Исключить можно тот параметр, который технически труднее измерять, или тот, физический смысл менее ясен. При планировании эксперимента целесообразно измерять все параметры, затем оценить корреляцию между ними и строить модели для их минимально возможного числа или же воспользоваться обобщенным параметром.

 

 

  

 

2 Принятие решений  перед планированием эксперимента

 

При выборе области эксперимента, прежде всего надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов.

Первый тип – принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитность отдельных компонентов, временем введения процесса.

Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.

Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. Информацию, содержащеюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (полученной до начала эксперимента). Мы можем использовать априорную информацию для получения представления о параметре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика, то есть о том, как сильно меняется параметр оптимизации при небольших изменениях значений факторов, а также о кривизне поверхности. Для этого можно использовать графики однофакторных экспериментов, осуществляющихся в предыдущих исследованиях. Если однофакторную зависимость нельзя представить линейным уравнением. То в многомерном случае, несомненно, будет существенная кривизна.

 Итак, выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

Теперь в области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа

1. Выбор основного уровня
2. Выбор интервалов варьирования

Выбор основного уровня.

Лучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее нулевым уровнем(основным). Построение плана эксперимента сводиться к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.

Положение усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные процессы, из теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.

Возможен случай с несколькими эквивалентными точками, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополнительные данные выбор произволен. Если эксперимент недорог и требует немного времени, можно приступить к построению планов экспериментов вокруг нескольких точек.

Для наглядности построим блок – схему о принятии решений при выборе основного уровня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

блок – схема о принятии решений при выборе основного уровня

после того как нулевой уровень выбран, выбираем интервалы варьирования.

Выбор интервалов варьирования.

Выбираются для каждого фактора два уровня, верхний уровень и нижний уровень, на которых фактор будет варьироваться в эксперименте.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора, то есть интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной – нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования:

 

Где – кодированное значение фактора,

- натуральное значение  фактора

- натуральное значение  основного уровня

- интервал варьирования

- номер фактора

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой -1; порядок уровней не имеет значения.

На выбор интегралов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

Выбор интервалов варьирования – это задача, связанная с неформализованным этапом планирования эксперимента. Априорная информация, которая может быть полезна на данном этапе – это сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. В ходе эксперимента эти сведения часто приходится корректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы принятия решений вводят приближенную классификацию, пологая, что есть низкая, средняя и высокая точности.

Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут служить графики однофакторных зависимостей, а также теоретические соображения. Из графиков сведения о кривизне можно получить визуально. Некоторые представления о кривизне дает анализ табличных данных, так как наличию кривизны соответствует непропорциональное изменение параметра оптимизации при равномерном изменении фактора.