Задача по "Эконометрике"

Задача  №1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость  объема выпуска продукции (У, млн. руб) от объема капиталовложений (Х, млн. руб).

Требуется:

1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:
• линейную,
• степенную,
• показательную,
• гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
• индекс корреляции,
• среднюю относительную ошибку,
• коэффициент детерминации,
• F – критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.

 

Y	36	38	46	44	48	42	40
X	70	78	74	82	88	84	80

 

Решение

1. Построение моделей регрессии

Построение  линейной модели парной регрессии.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя  данные таблицы 1.1:

0,609

 

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения  параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

Уравнение регрессии имеет вид: .

 

С увеличением  объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции  уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности  работы предприятий, и необходимо принять  меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем  коэффициент детерминации:

Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 37,1% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку  значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

;

F>F_табл = 6,61 для a=0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n – m – 1 = 5/

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимое, т.к. F >F_табл.

Определим среднюю  ошибку:

.

В среднем  расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 0,57%.

 

Построение  степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a +b lg x. данные приведены в таблице 1.2.

Обозначим Y = lg , X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.

 

 

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = -2,724 + 2,29X.

Перейдем  к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии: = 0,0018 ´ x^2,29.

Определим индекс корреляции:

связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,836:

Вариация  результата Y (объем выпуска продукции) на 83,6% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F >F_табл = 6,61 для a = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n –m –1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимое, т.к. F >F_табл.

Средняя относительная  ошибка

В среднем  расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,54%.

 

 

Построение  показательной функции

 

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого  осуществим логарифмирование обеих  частей уравнения:

.

Обозначим:  .

Получим линейное уравнение регрессии:

Y=A+Bx.

Рассчитаем  его параметры, используя данные таблицы 1.4.

 

 

Перейдем  к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

 

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс  детерминации: R² = = 0,61² = 0,372.

Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 37,2% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F> F_табл = 6,61 для a = 0,05; k₁=m=1, k₂ = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимое, т.к. F> F_табл.

Средняя относительная ошибка:

В среднем  расчетные значения для показательной функции отличаются от фактических на 1,23%.

 

Построение  гиперболической функции

 

Уравнение гиперболической функции:

Произведем  линеаризацию модели путем замены X= . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем  его параметры по данным таблицы 1.5.

Получим следующее уравнение гиперболической  модели: .

Определим индекс детерминации: R² = = 0,59² = 0,348.

Таблица 1. 5.

 

Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 34,8% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

F> F_табл= 6,61 для a = 0,05; k₁=m=1, k₂ = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимое, т.к. F> F_табл.

Средняя относительная ошибка:

В среднем  расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 0,58%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбор лучшей модели

 

Для выбора лучшей модели построим сводную  таблицу результатов.

 Таблица  1.6.

Параметры   Модель	Коэффициент детерминации R2	F-критерий Фишера	Индекс  корреляции rYX (ryx)	Средняя относительная ошибка Eотн
Линейная
Степенная
Показательная
Гиперболическая

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F-критерия Фишера  и большее значение коэффициента детерминации R² имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет прогнозного  значения результативного показателя

Прогнозное  значение результативного признака (объема выпуска продукции) определяется по уравнению гиперболической модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений:

(млн руб.).

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отображаются на графике.