Построение модели множественной регресии

ПОСТРОЕНИЕ  МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕСИИ

Введение

Цель работы – овладеть методикой построения линейных моделей множественной регрессии, оценки их существенности и значимости, расчетом показателей множественной регрессии и корреляции.

Постановка задачи. По данным регионов (таблица 1) изучить зависимость начисленной з.п., тыс.руб ( ) от доли трудоспособного населения, %. ( ) и уровня безработицы, % ( ).

1 Оценить параметры линейной  модели множественной регрессии с помощью метода определителей.

2  Построить уравнение регрессии  в стандартизованном масштабе.

3  Построить частные уравнения  регрессии.

4  Определить частные коэффициенты  эластичности.

5  Определить средние коэффициенты  эластичности.

6 Рассчитать индекс множественной корреляции.

7  Определить   совокупный   коэффициент   корреляции   через  матрицу парных коэффициентов  корреляции.

8  Определить   коэффициента   детерминации   (скорректированный   и нескорректированный)

9  Рассчитать частные коэффициенты корреляции.

10 Оценить значимость уравнения  множественной регрессии с помощью  F-критерия Фишера.

11 Рассчитать частные F-критерии Фишера.

12 Оценить значимость коэффициентов  чистой регрессии по t-критерию Стьюдента.

Корреляционно-регрессионный анализ проводить с использованием формул и с помощью табличного процессора MS Excel.

По результатам  построения линейной модели множественной  регрессии сделать обоснованные выводы.

 

№	регионы	Доля трудоспособного  населения (%) х1	Уровень безработицы, (%) х2	Начисленная з.п. (тыс.руб.) у
1	3 Владимирская обл	61,6	6,9	9,7
2	4 Воронежская обл	60,9	5,2	8,7
3	5 Ивановская обл	61,4	4,5	8,2
4	6 Калужская обл	61,8	5	10,9
5	7 Костромская обл	62,1	3,3	9,1
6	8 Курская обл	61	4,9	8,9
7	9 Липецкая обл	61,5	2,8	10,9
8	10 Московская обл	63,1	2	16,2
9	11 Орловская обл	61,5	5,8	8,6
10	12 Рязанская обл	60,1	4	9,8
11	13 Смоленская обл	62,7	6,5	9,6
12	14 Тамбовская обл	60,4	8,8	7,9
13	15 Тверская обл	60,3	4,2	10,2
14	16 Тульская обл	60	2,6	10,1

Таблица 1  Исходные данные для корреляционно-регрессионного анализа

 

1 Оценка параметров с помощью метода определителей

Параметры уравнения множественной  регрессии оцениваются, как и  в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

Так, для уравнения  система нормальных уравнений составит:

                                                             

Для оценки параметров уравнения  множественной регрессии построим

с помощью MS Excel вспомогательную таблицу 2

 

№	х1	х2	у	х12	х22	у2	х1у	х2у	х1х2
1	61,6	6,9	9,7	3794,56	47,61	94,09	597,52	66,93	425,04
2	60,9	5,2	8,7	3708,81	27,04	75,69	529,83	45,24	316,68
3	61,4	4,5	8,2	3769,96	20,25	67,24	503,48	36,9	276,3
4	61,8	5	10,9	3819,24	25	118,81	673,62	54,5	309
5	62,1	3,3	9,1	3856,41	10,89	82,81	565,11	30,03	204,93
6	61	4,9	8,9	3721	24,01	79,21	542,9	43,61	298,9
7	61,5	2,8	10,9	3782,25	7,84	118,81	670,35	30,52	172,2
8	63,1	2	16,2	3981,61	4	262,44	1022,22	32,4	126,2
9	61,5	5,8	8,6	3782,25	33,64	73,96	528,9	49,88	356,7
10	60,1	4	9,8	3612,01	16	96,04	588,98	39,2	240,4
11	62,7	6,5	9,6	3931,29	42,25	92,16	601,92	62,4	407,55
12	60,4	8,8	7,9	3648,16	77,44	62,41	477,16	69,52	531,52
13	60,3	4,2	10,2	3636,09	17,64	104,04	615,06	42,84	253,26
14	60	2,6	10,1	3600	6,76	102,01	606	26,26	156
∑	858,4	66,5	138,8	52643,6	360,37	1429,72	8523,05	630,23	4074,68
ср	61,314	4,750	9,914	3760,260	25,741	102,123	608,789	45,016	291,049

 

Таблица 2 Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения множественной регрессии

1. На основе расчетов, представленных в таблице 2, получили следующую систему:

Определитель системы  имеет вид:

=

14 858,4 66,5 858,4 52643,64 4074,68 66,5 4074,68 360,37

265596639,7 + 232597403,2  + 232597403,2 – 232803337 - 265538836,3 - 232442239,4 = 730791446,2 - 730784412,7 = 7033,4204

Частные определители получаем путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы. Например, для параметра а:

=

138,8 858,4 66,5 8523,05 52643,64 4074,68 630,23 4074,68 360,37

= 2633200970 + 2204358819 + 2309458641 -  2206310482 - 2636533992  - 2304498774 = 7147018430 – 7147343248 = -324817,7027

∆b1

=

14 138,8 66,5 858,4 8523,05 4074,68 66,5 630,23 360,37

= 43000321,4 + 37610111,34 + 35975797,23  - 37691057,86 - 42936615,19 - 35951798,07 = 116586230 - 116579471,1 = 6758,8405

∆b2

=

14 858,4 138,8 858,4 52643,64 8523,05 66,5 4074,68 630,23

= 464486417,3 + 486526377 + 485481497,3 - 485911325,9 - 464385328,4 - 486201819,2 = 1436494292 – 1436498474 = -4181,9864

В результате расчета определителей получили следующие значения:

= -324817,7027/7033,4204= -46,182

= 6758,8405/7033,4204= 0,961

= -4181,9864/7033,4204= -0,595

Уравнение множественной  регрессии имеет вид:

=-46,182+ 0,961х₁ -0,595х₂.

Таким образом, при увеличении доли трудоспособного населения на 1 % начисленная з.п. увеличится на 0,961 тыс.руб., а при увеличении уровня безработицы на 1 % начисленная з.п. снизится на 0,595тыс. руб.

2. Построить уравнение регрессии в стандартизованном масштабе.

Найдем парные коэффициенты корреляции: r_x1x2, r_yx2, r_yx2. Для этого вначале надо найти

= = 0,905

= = 1,783

= = 1,957

r_x1x2 = = -0,12

r_yx1 = = 0,509; r_yx2 = = -0,595

Система уравнений имеет  вид:

= = 0,444; = = -0,542

Уравнение в стандартизованном  масштабе имеет вид:

=

Таким образом с ростом доли трудоспособного населения на 1 сигму при неизменном среднем уровне безработицы, начисленная з.п. в среднем возрастут на 40,045 сигмы; а с увеличением уровня безработицы на 1 сигму при неизменной доле трудоспособного населения начисленная з.п. уменьшится на 0,666 сигмы.

Во множественной регрессии  коэффициенты «чистой» регрессии b_i связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии β_i следующим образом:   ;

3 Построение частных уравнений регрессии

Частные уравнения имеют вид:                                         

                                                        .

В данной задаче частные  уравнения имеют вид:

 

4 Определение частных коэффициентов эластичности

Рассчитаем частные  коэффициенты эластичности для 

Ивановской области х₁ = 61,4 %; х₂ = 4,5 %.

=0,822%;   =0,052%

Таким образом, в Ивановской области при увеличении доли трудоспособного населения на 1%, начисленная з.п. возрастет на 0,8%, а при увеличении уровня безработных на 1%, з.п. увеличится на 0,05%.

5 Определение средних коэффициентов эластичности

Средние по совокупности показатели эластичности находим по формуле: Для данной задачи они окажутся равными:

   

Таким образом, с ростом доли трудоспособного населения (ТСН) на 1%, размер НЗП в среднем по совокупности возрастет на 5,9% при неизменном размере инвестиций в основной капитал на душу населения. При увеличении уровня безработицы на 1%, величина НЗП в среднем по изучаемой совокупности сократится на 0,29% при неизменной доле ТСН.

6  Рассчитать  индекс множественной корреляции.

R_yx1x2 = = 0,741

Таким образом, связь НЗП с долей трудоспособного населения и уровнем безработицы сильная.

7  Определить   совокупный   коэффициент   корреляции   через  матрицу  парных коэффициентов корреляции

= =0,741

1- 0,036518335 - 0,03649476 + 0,354123345 + 0,259318128 + 0,014512895=1,073013095-0,627954368=0,445

= =1-0,015=0,985

8  Определение коэффициента детерминации

(скорректированного, нескорректированного)

Коэффициент множественной  детерминации рассчитывается как квадрат  индекса множественной корреляции:

Скорректированный  индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

           

Таким образом, вариация НЗП на 54,8% (46,6% - при скорректированном индексе детерминации) зависит от вариации доли трудоспособного населения и уровня безработицы, а на остальные 45,2% (53,4%) от других факторов, не включенных в модель.

9  Частные коэффициенты корреляции

Формула коэффициента частной  корреляции, выраженная через показатель детерминации, для х₁ принимает вид:

0,512

-0,669

Таким образом, при закреплении  фактора х₂ на постоянном уровне (элиминировании) корреляция у и х₁ равна 0,512, то есть связь прямая умеренная. При закреплении фактора х₁ на постоянном уровне корреляция у и х₂ равна -0,669 то есть связь обратная умеренная

10 Оценка значимости уравнения с помощью F-критерия Фишера

Значимость уравнения  множественной регрессии в целом, оценивается с помощью F-критерия Фишера по формуле:

   

При этом выдвигается гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

 

 F_табл. =3,98  (при k₁=m=2 и k₂=n-m-1=14-2-1=12).