Математическое моделирование

1. Иерархический подход к получению моделей. Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей даже относительно простых объектов сразу во всей полноте, с учетом всех факторов, существенных для его поведения. Поэтому естествен подход, реализующий принцип "от простого — к сложному", когда следующий шаг делается после достаточно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает цепочка (иерархия ) все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая.

Построим такую иерархическую  цепочку на примере модели многоступенчатой ракеты. Реальная одноступенчатая ракета неспособна развить первую космическую скорость. Причина этого - затраты горючего на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы. Следовательно, при движении ракеты необходимо периодически избавляться от балласта. В практической конструкции это означает, что ракета состоит из нескольких ступеней, отбрасываемых по мере их использования.

Пусть m_i — общая масса i -й ступени, - соответствующая структурная масса (при этом масса топлива равна величине ), - масса полезной нагрузки. Величины и скорость истечения газов одинаковы для всех ступеней. Возьмем для определенности число ступеней n = 3. Начальная масса такой ракеты равна

m₀=m_p+m₁+m₂+m₃

Рассмотрим момент, когда  израсходовано все топливо первой ступени и масса ракеты равна  величине

Тогда скорость ракеты равна :(u- скорость покидания остатков от топлива,3-5км/с)

После достижения скорости v₁ структурная масса отбрасывается и включается вторая ступень. Масса ракеты в этот момент равна

m_p+m₂+m₃

Начиная с этого момента  и до момента полного выгорания  топлива второй ступени, ничто не мешает пользоваться уже построенной  моделью, применив ее к рассматриваемому случаю. Все рассуждения о сохранении суммарного импульса и соответствующие  выкладки остаются в силе (следует  только учесть, что у ракеты уже  есть начальная скорость v_i ). Тогда после выгорания топлива во второй ступени ракета достигает скорости

Такие же рассуждения применимы  и к третьей ступени ракеты. После отключения ее двигателей скорость ракеты равна

Эту цепочку нетрудно продолжить для любого числа ступеней и получить соответствующие формулы. В случае же n = 3 для окончательной скорости имеем

* или, вводя величины

Получаем

Данное выражение симметрично  по отношению к величинам  и нетрудно показать, что его максимум достигается в симметричном случае, т.е. при . При этом для i = 3

Произведение  , как легко проверить, отношению m₀/m_p, или

* Для многоступенчатой ракеты отношению m₀/m_p, аналогично, имеем

(11)

где n — число ступеней.

Проанализируем формулу (11). Примем v_n = 10,5 км/с, . Тогда для n = 2, 3, 4 получаем m₀ = 149 m_р, m₀ = 77 m_p, m₀ = 65 m_p соответственно. Это значит, что двухступенчатая ракета пригодна для выведения на орбиту некоторой полезной массы (однако при одной тонне полезного груза необходимо иметь ракету весом 149 тонн). Переход к третьей ступени уменьшает массу ракеты почти в два раза (но, конечно же, усложняет ее конструкцию), а четырехступенчатая ракета не дает заметного выигрыша по сравнению с трехступенчатой.

Построение иерархической  цепочки позволило относительно просто прийти к этим важным выводам. Иерархия математических моделей часто  строится и по противоположному принципу "от сложного к простому". В этом случае реализуется путь "сверху вниз" - из достаточно общей и сложной модели при соответствующих упрощающих предположениях получается последовательность все более простых (но имеющих уменьшающуюся область применимости) моделей.

 

2. Применение аналогий при построении моделей. В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы, общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако на простейшем уровне такая аналогия вполне просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение - скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости и смертности . В результате приходим к уравнению

(10)

весьма похожему на уравнение радиоактивного распада и совпадающего с ним при (если и постоянные). Это неудивительно, так как при их выводе использовались одинаковые соображения. Интегрирование уравнения (10) дает

где N(0) = N(t = t₀) — начальная численность.

На рис.1.7 приведены графики функции N(t) при постоянных и (разным подобным друг другу кривым соответствуют разные t₀ — значения времени начала процесса). При α=β численность остается постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина N(t) = N(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства α=β приводит с течением времени ко все большему отклонению функции N(t) от равновесного значения N(0). При α<β численность населения убывает и стремится к нулю при t->∞, а при α>β растет по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при t->∞. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.

 
Рис. 1.7.  Изменение численности популяции со временем в модели Мальтуса

Как в данном примере, так  и в ряде рассмотренных выше случаев  можно указать немало очевидных  ограничений применимости построенной  модели. Конечно же, сложнейший процесс  изменения численности населения, зависящий к тому же от сознательного  вмешательства самих людей, не может  описываться какими-либо простыми закономерностями. Даже в идеальном случае изолированной  биологической популяции предложенная модель не отвечает реальности в полной мере хотя бы из-за ограниченности ресурсов, необходимых для ее существования.

Сделанное замечание, тем не менее нисколько не умаляет роли аналогий в построении математических моделей очень сложных явлений.

Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств  моделей - их универсальности, т. е. их применимости к объектам принципиально различной природы. Так, предположения типа "скорость изменения величины пропорциональна значению самой величины (или некоторой функции от нее)" широко используются в далеких друг от друга областях знаний.