Математическое моделирование в менеджменте

 

В полученный рацион вошли 8 из 13 предоставленных видов кормов. Рацион удовлетворяет всем поставленным ограничениям.

Соблюдены также все  условия по удельному весу отдельных  видов кормов в их группах и  групп кормов в балансе кормовых единиц:

 

Таблица 6.  Состав рациона по группам кормов

Группы кормов	Масса, кг	Кормовых единиц, кг	Перевари-мого протеина, г	Каротина, мг	Стоимость, руб.
Концентраты	4	4,37	559,94	1,52	31,20
Грубые корма	23,23	10,48	770,49	292,99	6,25
Силос	12,5	1,85	187,5	162,5	24,50

 

Структура кормового рациона по видам кормов выглядит следующим образом.

 

Таблица 7. Структура кормового рациона по видам кормов

Ед. изм.	Показатели	Концентра-ты	Грубые	Силос	Итого
Кг	Кормовые единицы	4,37	10,48	1,85	16,7
%		26,17	62,75	11,08	100%
Г	Переваримый протеин	559,94	770,49	187,50	1517,93
%		36,89	50,76	12,35	100%
Мг	Каротин	1,52	292,99	162,5	455,49
%		0,33	64,32	35,35	100%
Руб	Стоимость	31,20	6,25	24,50	61,95
%		50,37	10,08	39,55	100%

 

Грубые корма и силос  находятся почти на верхних границах допустимого диапазона. Поэтому их следует считать дефицитными и наиболее эффективными. Грубые корма  следует считать наиболее дешевыми (их доля по количеству кормовых единиц и протеина больше, чем по стоимости), а силос - наиболее питательным (содержит значительное количество кормовых единиц и протеина, и особенно - каротина).

Таким образом, рассчитав нашу модель и, получив минимизированный результат  при помощи программного пакета Microsoft Office 2003, я сделал вывод, что полученный результат является оптимальным и минимизирует наши затраты. При этом  полностью удовлетворяется потребность коровы в питательных веществах и их соотношениях.

Если  бы при расчетах не использовалась математическая модель, то решение  находилось  бы очень долго и  полученный результат, возможно, не был бы оптимальным.

Итак, метод линейной оптимизации очень  удобен для решения задач, к примеру, животноводческих ферм.

4. Представить математическую запись задачи в развернутой и структурных формах. Построить опорный план методом «северо-западного угла».

Поставщик	Потребитель	Затраты на доставку от 1-го поставщика J – му потребителю
			25  25  30
			25  30  25
			20  35  25
			30  35  25

 

Решение:

Запас груза в i-м пункте отправления a_i: a₁=6, a₂=9, a₃=6, a₄=2. Потребность j-го пункта назначения в грузе b_j: b₁=8, b₂=6, b₃=7. Матрица тарифов (затрат на доставку от I-го поставщика J-му потребителю) C_i,j:

 

(Ci,j)m×n=	потребитель  поставщик	1	2	3
	1	25	30	40
	2	30	30	35
	3	27	32	20
	4	40	25	30

 

Составим математическую модель задачи транспортного типа. Общие суммарные  затраты, связанные с реализацией  плана перевозок, можно представить  целевой функцией

Переменные X_k должны удовлетворять ограничениям по запасам (1), по потребностям (2), и условиям неотрицательности. В математической записи это можно представить так:

Целевая функция:

25X₁+30X₂+40X₃+30X₄+30X₅+35X₆+27X₇+32X₈+20X₉+40X₁₀+25X₁₁+30X₁₂→min

Условия:

1X₁+1X₂+1X₃+0X₄+0X₅+0X₆+0X₇+0X₈+0X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂=6 
0X₁+0X₂+0X₃+1X₄+1X₅+1X₆+0X₇+0X₈+0X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂=9 
0X₁+0X₂+0X₃+0X₄+0X₅+0X₆+1X₇+1X₈+1X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂=6 
0X₁+0X₂+0X₃+0X₄+0X₅+0X₆+0X₇+0X₈+0X₉+1X₁₀+1X₁₁+1X₁₂=2 
1X₁+0X₂+0X₃+1X₄+0X₅+0X₆+1X₇+0X₈+0X₉+1X₁₀+0X₁₁+0X₁₂=8 
0X₁+1X₂+0X₃+0X₄+1X₅+0X₆+0X₇+1X₈+0X₉+0X₁₀+1X₁₁+0X₁₂=6 
0X₁+0X₂+1X₃+0X₄+0X₅+1X₆+0X₇+0X₈+1X₉+0X₁₀+0X₁₁+1X₁₂=7

Транспортная задача разрешима  только в случае, если соблюдается  условие баланса Σa_i=Σb_i. В нашем случае оно нарушено, так как: Σa_i=6+9+6+2=23 и Σb_i=8+6+7=21 Следовательно задача является открытой (несбалансированной). Поскольку Σa_i>Σb_i, то введем фиктивного потребителя количество продукции у которого составит Σa_i-Σb_i=2. По условию, необходимо полностью использовать ресурсы поставщика(ов): №1, №2, №3, а это означает, что указанным потребителям нельзя поставлять продукцию от фиктивного источника. Следовательно, стоимость транспортных расходов на доставку единицы продукции от фиктивного источника необходимо сделать невыгодной C >max(C_i,j). Положим С=80. А стоимость транспортных расходов на доставку единицы продукции от фиктивного поставщика всем оставшимся потребителям будем полагать равной нулю.

Получим следующую закрытую модель транспортной задачи:

25X₁+30X₂+40X₃+80X₄+30X₅+30X₆+35X₇+80X₈+27X₉+32X₁₀+20X₁₁+80X₁₂+40X₁₃+25X₁₄+

+30X₁₅+X₁₆→min

Внесем дополнительное ограничение  для фиктивного поставщика в систему.

Приведем систему ограничений  к каноническому виду, для этого  введем в каждое условие искусственную  переменную R. Тогда система запишется  в виде:

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+0X₅+0X₆+0X₇+0X₈+0X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂+0X₁₃+0X₁₄+0X₁₅+0X₁₆+R1=6 
0X₁+0X₂+0X₃+0X₄+1X₅+1X₆+1X₇+1X₈+0X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂+0X₁₃+0X₁₄+0X₁₅+0X₁₆+R2=9 
0X₁+0X₂+0X₃+0X₄+0X₅+0X₆+0X₇+0X₈+1X₉+1X₁₀+1X₁₁+1X₁₂+0X₁₃+0X₁₄+0X₁₅+0X₁₆+R3=6 
0X₁+0X₂+0X₃+0X₄+0X₅+0X₆+0X₇+0X₈+0X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂+1X₁₃+1X₁₄+1X₁₅+1X₁₆+R4=2 
1X₁+0X₂+0X₃+0X₄+1X₅+0X₆+0X₇+0X₈+1X₉+0X₁₀+0X₁₁+0X₁₂+1X₁₃+0X₁₄+0X₁₅+0X₁₆+R5=8 
0X₁+1X₂+0X₃+0X₄+0X₅+1X₆+0X₇+0X₈+0X₉+1X₁₀+0X₁₁+0X₁₂+0X₁₃+1X₁₄+0X₁₅+0X₁₆+R6=6 
0X₁+0X₂+1X₃+0X₄+0X₅+0X₆+1X₇+0X₈+0X₉+0X₁₀+1X₁₁+0X₁₂+0X₁₃+0X₁₄+1X₁₅+0X₁₆+R7=7 
0X₁+0X₂+0X₃+1X₄+0X₅+0X₆+0X₇+1X₈+0X₉+0X₁₀+0X₁₁+1X₁₂+0X₁₃+0X₁₄+0X₁₅+1X₁₆+R8=2

На основе полученных данных можно составить симплекс таблицу и после её решения данные подтверждают, что полученный нами ведущий элемент отрицателен, целевая функция не ограничена снизу, в области допустимых решений задачи.

Построение опорного плана методом «северо-западного угла».

Занесем исходные данные в распределительную  таблицу.

	1	2	3	4	Поставка
1	25	30	40	0	6
2	30	30	35	0	9
3	27	32	20	0	6
4	40	25	30	0	2
Потребности	8	6	7	2

 

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи. План начинается заполняться с верхнего левого угла. Искомый элемент равен 25

Для этого элемента запасы равны 6, потребности 8. Поскольку минимальным  является 6, то вычитаем его:  x₁₁ = min(6,8) = 6.

25	x	x	x	6 - 6 = 0
30	30	35	0	9
27	32	20	0	6
40	25	30	0	2
8 - 6 = 2	6	7	2	0

 

Искомый элемент равен 30 Для этого  элемента запасы равны 9, потребности 2. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его: x₂₁ = min(9,2) = 2.

25	x	x	x	0
30	30	35	0	9 - 2 = 7
x	32	20	0	6
x	25	30	0	2
2 - 2 = 0	6	7	2	0

 

Искомый элемент равен 30. Для этого  элемента запасы равны 7, потребности 6. Поскольку минимальным является 6, то вычитаем его:   x₂₂ = min(7,6) = 6.

25	x	x	x	0
30	30	35	0	7 - 6 = 1
x	x	20	0	6
x	x	30	0	2
0	6 - 6 = 0	7	2	0