Линейные балансовые модели в экономике

 

Решение.

3. При Y = (10, 20) система из п.2 принимает вид:

Решая эту систему, получим:

4. Если  X=(50,100), то из системы в п.2 получим:

 

IV. Решение системы балансовых уравнений в матричной форме

Систему (4) заменим матричным уравнением:

Y = (E-A)X,               (5)

где

      

 

Система (5) позволяет по данному вектору-столбцу  объемов производства найти вектор-столбец  конечной продукции.

Для решения обратной задачи надо решить следующую систему:

X = (E-A)^-1Y,           (6)

где (E-A)^-1 – матрица, обратная матрице (E-A).

Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор X⁰, такой, что X⁰ > A X⁰. Другими словами, если матрица А продуктивна, то для выпуска продукта каждой отрасли требуется затрат меньше, чем стоит сам продукт.

Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица   B =(E-A)^-1неотрицательна.

Матрицу В = ||b_ij|| называют матрицей коэффициентов полных внутренних затрат. Коэффициент b_ij выражает стоимость той части валового продукта P_i, которая необходима P_i для выпуска ею единицы конечной продукции.

 

До  сих пор мы говорили о затратах, распределении и потреблении  продукции, произведенной экономическими объектами, входящими в данную экономическую  систему. Однако, если экономическая  система не охватывает всю экономику страны, то не исключена возможность того, что в процессе производства в качестве сырья, полуфабрикатов и т. д. будут использоваться продукты, произведенные за ее пределами.

Особая  роль принадлежит трудовым ресурсам и капиталовложениям. Эти два фактора производства всегда являются внешними по отношению к любой экономической системе. Тем не менее с помощью метода межотраслевого баланса можно определить затраты труда, капитала и других ресурсов, не производящихся внутри нее.

 

Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальных затрат. Достаточное условие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Структурная форма линейной модели баланса межотраслевых материально-вещественных связей.

 

Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Балансы бывают отчетные и плановые. Отчетные фиксируют сложившиеся пропорции, а плановые отражают некоторое желательное состояние и получаются в результате расчета по моделям, о которых и пойдет речь в этой главе.

В зависимости  от того, в каких единицах измеряются межотраслевые потоки, различают  балансы натуральные и стоимостные. Далее мы будем иметь в виду в основном стоимостные балансы.

Предположим, что  народное хозяйство представлено совокупностью п отраслей. Будем считать, что каждая отрасль производит только один продукт и каждый продукт производится только одной отраслью, т. е. между отраслями и продукцией существует взаимно однозначное соответствие. В действительности это не так, поэтому в МОБ фигурируют не реальные, а так называемые "чистые", или "технологические", отрасли.

Общий вид межотраслевого баланса представлен в таблице. Она состоит из четырех разделов. Первый раздел образуется перечнем "чистых" отраслей. Каждая отрасль представлена в МОБ дважды: как производящая и как потребляющая. Отрасли как производителю соответствует строка таблицы, отрасли как потребителю соответствует столбец. На пересечении i-й строки и j-го столбца находится величина x_ij - количество продукции i-й отрасли (в денежном выражении), израсходованной на производственные нужды j-й отрасли. Таким образом, первый раздел характеризует межотраслевые потоки сырья, материалов, энергии и т. д., обусловленные производственной деятельностью отраслей.

	1	2	…	n	У	Х
1	x11	x12	…	x1n	y1	x1
2	х21	x22		x2n	y2	x2
…	…	…	…	…	…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	yn	xn
V	v 1	v2	…	vn
Х	x1	x2	. . .	xn

 

Второй раздел МОБ состоит из двух столбцов. Столбец Y - это конечная продукция отраслей. Конечная продукция включает в себя непроизводственное потребление (личное и общественное), возмещение выбытия основных фондов и накопление. Столбец Х содержит величины валового производства отраслей.

Третий раздел представлен двумя нижними строками. Строка Х содержит те же самые величины, что и соответствующий столбец второго раздела. Строка V содержит величины условно-чистой продукции отраслей. Условно-чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).

Четвертый раздел МОБ не имеет непосредственного отношения  к анализу межотраслевых связей. Он характеризует перераспределительные отношения в народном хозяйстве и здесь рассматриваться не будет.

Строки показывают распределение  продукции. Для любой i-й строки первого раздела справедливо соотношение

т.е. вся произведенная i-й отраслью продукция х_i (валовая продукция в денежном выражении) делится на промежуточную и конечную. Промежуточная продукция - это та часть валовой продукции i-й отрасли, которая расходуется другими отраслями в процессе осуществления ими собственных производственных функций.

Столбцы МОБ  показывают структуру затрат. Для  любого j-го столбца можно записать:

т.е. стоимость всей произведенной j-й отраслью продукции х_j состоит из текущих производственных затрат и условно-чистой продукции v_j.

Суммарный конечный продукт равен суммарной условно-чистой продукции. Действительно,

Сравнивая правые части этих соотношений, видим, что

Зная суммарный  конечный продукт или, что то же, суммарную условно-чистую продукцию, можно определить национальный доход. Он равен разности суммарного конечного продукта и амортизационных отчислений, направляемых на возмещение выбытия основных фондов.

Рассмотренная таблица МОБ  всего лишь форма представления  статистической информации о взаимосвязи  отраслей. Перейдем теперь к построению математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент a_ij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффициенты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося y_i в правую часть, а x_i в левую и меняя знаки на противоположные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

где Е - единичная матрица n-го порядка;

 - матрица коэффициентов прямых  материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа – каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство матрицы А – сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового  соотношения

на х_j и, выполнив простейшие преобразования, получим

где v_j / x_j= - доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создаваться новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицательном Y система

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)^-1Y. Матрицу (Е-А)^-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэффициент b_ij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом  виде

Преимущество  такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А²+...+А^k+...                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k³ ≈30.

Формула (4) имеет  строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточнения промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести экономическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х₀ =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X₁ =АХ₀=АY. Вектор X₁ можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х₀. Но под обеспечение производства X₁ тоже нужна промежуточная продукция: X₂ =АХ₁ =А²Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х₀+Х₁+Х₂+...+Х_k+... = Y+АY+А²Y+...+A^kY+... =

= (е+а+а²+…+а^k+...)Y.

Полные затраты  можно разложить на прямую и косвенную составляющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А²+А³+…+А^k+... относятся к предшествующим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посредство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А² представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А³ - косвенные затраты второго порядка и т. д.

Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная  балансом труда. Коэффициенты полных затрат труда. Коэффициенты фондоёмкости отраслей. Баланс основных производственных фондов. Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом основных производственных фондов.

 

Показатели  использования трудовых ресурсов и  основных производственных фондов также могут быть исследованы в межотраслевом контексте.

Пусть L - среднегодовая численность работников i-й отрасли. По аналогии с коэффициентами прямых материальных затрат вводятся коэффициенты прямых затрат труда: