Балансовые модели

Задание 1.  Балансовые модели

Балансовые модели начали применяться в нашей стране еще  в начале прошлого века. В середине 30-тых годов теория балансовых моделей  была разработана американским ученым русского происхождения В.В.Леонтьевым. Однако отсутствие мощной вычислительной техники не позволило распространить балансовый метод в практику экономических  вычислений в те годы. С появлением достаточно производительных ЭВМ в 60-тых годах работа по использованию  балансовых моделей в экономике  возобновилась. Большая заслуга  в разработке новых балансовых моделей  и внедрении их в практику принадлежит  академикам В.С.Немчинову и А.Н.Ефимову. Балансовые модели широко применяются  во многих странах мира в задачах  экономического анализа, планирования и прогнозирования.

 Таблица межотраслевого  баланса.  Модель межотраслевого баланса является основой многих линейных моделей производства. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из  n отраслей, причем каждая отрасль производит только один продукт. В настоящее время под отраслью понимают экономическую абстракцию, не обязательно существующую реально в виде каких-то организационных форм, например, в виде треста, объединения и т.д. Такая идеализация позволяет провести достаточно подробный анализ сложившейся технологической структуры производства и распределения продукции.

Обозначим через  x_ij  (i=1, 2, …, n;  j=1, 2, …, n)  величину  межотраслевых потоков,  т.е. объем продукции i-той отрасли, используемой  j-той отраслью, через x_j  объем валового продукта  j-той отрасли.  Через y_i обозначим величину конечного продукта. Под конечной продукцией будем понимать продукцию, не подлежащую дальнейшей переработке, т.е. не предназначенную на текущее производственное потребление. Конечная продукция включает предметы личного и общественного непроизводственного потребления, а также инвестиционные средства. Через s_j  обозначим величину условно-чистого продукта. Условно-чистая продукция включает амортизацию, оплату труда, прибавочный продукт.  Эти величины заносятся в таблицу межотраслевого баланса.

Потребители   Производители	1          2                             n	Конечный выпуск	Валовой выпуск
1 2 .. n	x11    x12                            x1n         x21       x22                            x2n        .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        xn1       xn2                            xnn	y1 y2   yn	x1 x2   xn
Условно-чистый выпуск	s1           s2                              sn	Σ	Σ
Валовой выпуск	x1           x2                               xn	Σ

 

В зависимости от единиц измерения различают натуральный и стоимостной межотраслевой баланс.

Каждая строка этой таблицы  соответствует балансу по производству, а именно, объем производства данного вида продукции складывается из текущего производственного потребления и конечного продукта. Система балансовых уравнений по производству имеет вид:

                     x₁₁ +  x₁₂ + . . . +  x_1n + y₁ = x₁

                      x₂₁  +   x₂₂ + . . . +  x_2n  + y₂ = x₂                                                                       (1)

                      .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                                              

                      x_n1 +   x_n2 + . . . +  x_nn + y_n = x_n

Каждый столбец этой таблицы  соответствует балансу по потреблению, а именно, потребление отрасли складывается из затрат промежуточных продуктов и условно-чистой продукции. Система балансовых уравнений по потреблению имеет вид:

                      x₁₁ +  x₂₁ + . . . +  x_n1 + s₁ = x₁

                      x₁₂  +   x₂₂ + . . . +  x_n2 + s₂ = x₂                                                                        (2)

                       .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                                              

                      x_1n +   x_2n + . . . +  x_nn + s_n = x_n

Развернутые системы линейных алгебраических уравнений (1) и (2) можно  представить в следующей сокращенной  форме:

 

 

В замкнутой экономической  системе суммарный объем производства равен суммарному объему потребления. Таким образом,

 

Из этого соотношения  сразу же вытекает следующее равенство:

 

Равенство (6) означает, что суммарный объем конечного продукта равен суммарному объему условно-чистого продукта.

 Технологическая  матрица и ее свойства.  Сделаем предположение, что затраты отрасли пропорциональны ее объему производства:

x_ij=a_ijx_j         (i, j=1, 2, …, n)                                                (7)

Коэффициенты пропорциональности  a_ij  называются  коэффициентами прямых затрат. Экономический смысл коэффициентов прямых затрат состоит в следующем:  для производства  j-той отраслью единицы j-того продукта требуется a_ij≥0  единиц  i-того  продукта, производимого i-той отраслью.

После подстановки (7) в (1) получаем:

 

В развернутой форме система (8) выглядит так:

 

Система (8) или (9) называется  математической моделью межотраслевого баланса производства продукции.  Из этой системы, например методом Жордана-Гаусса,  можно рассчитать объем валового выпуска продукции каждой отрасли по известным коэффициентам прямых затрат и конечной продукции.

Технологической матрицей  (матрицей прямых затрат продукции) называется матрица, составленная из коэффициентов прямых затрат:

 

Матрица  А  представляет собой сложившуюся структуру межотраслевых связей, существующую технологию общественного производства. Если сравнить технологические матрицы через определенные промежутки времени, то можно проследить направления изменения и развития технологии.

Свойства коэффициентов  технологической матрицы:

1. 

2. 

Первое свойство вытекает из определения коэффициентов прямых затрат продукции. В самом деле, величина межотраслевого потока  x_ij не может превосходить величину валового выпуска  x_j, поэтому 0≤x_ij=a_ijx_j≤x_j, откуда и следует первое свойство.

Второе свойство вытекает из следующих соображений. Рассмотрим равенство (4)

 

и заменим в нем все  межотраслевые потоки выражениями  через коэффициенты прямых затрат по формулам (7). Получаем

 

После вынесения  x_j  за скобку имеем

 

Учитывая, что  s_j>0, приходим к неравенству

 

откуда и следует требуемое  свойство. Требование положительности  условно-чистой продукции  s_j>0  является естественным, т.к. одной из ее составляющих является заработная плата.

Если бы имело место  противоположное неравенство, т.е.

 

то это бы означало, что  затраты всех отраслей экономической  системы на 1 рубль произведенной  продукции составляют сумму, превосходящую 1 рубль. Такое производство нельзя считать рентабельным.

Итак, в силу свойства 2  сумма элементов каждого столбца технологической матрицы меньше единицы.

 Балансовое  уравнение Леонтьева. Матрицей валового выпуска называется вектор-столбец, составленный из величин валовых выпусков продукции каждой отрасли:

 

Матрицей конечного  продукта  называется вектор-столбец, составленный из величин конечной продукции каждой отрасли:

 

С учетом обозначений (10) –(12) система (9) примет следующую матричную  форму:

X=AX+Y                                                         (13)

Решим систему (13) относительно Х.  Для этого перепишем ее так:

X-AX=Y                                                         (14)

Вынесем матрицу  Х  за скобку. Для этого учтем, что  Х=ЕХ,  где  Е  - единичная матрица того же размера. Далее получаем

      X-AX= ЕX-AX=(Е-А)Х

Таким образом,

(Е-А)Х=Y                                                        (15)

Уравнение (15) носит название  балансового уравнения Леонтьева.

 

 

Пример. Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y_i для отраслевой экономической системы:

                             А =       ,Y =

 

Требуется определить:

А) коэффициенты полных затрат;

Б) вектор валового выпуска;

В) межотраслевые поставки продукции;

Г) проверить продуктивности матрицы А;

Д) заполнить схему межотраслевого баланса.

 

Для решения задачи воспользуемся  функциями Excel.

Вычислим матрицу коэффициентов  полных затрат В=(Е-А)^-1.

 

Для вычисления обратной матрицы:

В ячейки В6:D8 запишем элементы матрицы Е-А. Массив Е-А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон В10:D12 для размещения обратной матрицы В=(Е-А)^-1 и введем формулу для вычислений МОБР (В6:D8). Затем нажимаем CTRL+SHIFT+ENTER.

Все элементы матрицы коэффициентов  полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

 

Вычисляем вектор валового выпуска Х по формуле Х=ВY.

В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле Y=(Е-А)^-1 Y. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (В10:D12,G10:G12). Затем нажимаем CTRL+SHIFT+ENTER.

 

Межотраслевые поставки х_ij вычисляем по формуле х_ij = а_ijХ_j.

 

 

Заполняем схему МОБ.

 

 

 

 

Задание 2.Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Совхоз для кормления  животных использует два вида корма.В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательноговещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Исходные данные приведены ниже.

 

Питательные вещества	Количество питательных  веществ в 1 кг корма
	1-й вид	2-й вид
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

 

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом.

 

Решение:

ЭММ задачи

Х₁ - количество корма 1 вида, которое следует включить в дневной рацион животного;

Х₂ - количество корма 2 вида которое следует включить в дневной рацион животного;

F= 0,2Х₁ +0,3Х₂

2Х₁+Х₂≥ 6

2Х₁+4Х₂≥12

Х_1,2≥ 0

 

 

Определение области допустимых решений задачи (ОДР)

2Х₁+Х₂≥ 6;     2Х₁ + 0 = 6;     

2Х₁+Х₂= 6;     2Х₁ = 6;

2*0+Х₂= 6.      Х₁= 3.

Х1	0	3
Х2	6	0

 

                О (0;0) 2*0+0 ≥ 6 (неверно)

 

2Х₁+4Х₂≥ 12;       0+2Х₂= 6;     Х₁ +2*0 = 6;

Х₁+2Х₂≥ 6.          2Х₂ = 6;           Х₁ = 6.

                                               Х₂ = 3.

Х1	0	6
Х2	3	0

 

               О (0;0)   2*0+4*0 ≥ 12 (неверно)

 

Искомая область может  находиться только в I четверти декартовой системы, так как Х_1,2≥ 0.

 

Определение оптимальных точек задач

Для определения т. maxи т.min используют линии уровня целевой функции.

Для определения направления  роста уровня функции использую  вектор градиент С, соединяю его вершину (0,2;0,3) с началом координат О (0;0).

Перпендикулярно вектору  градиенту С,через начало координат проведем линию нулевого уровня функции.