Двухсекторная модель экономики

Цель  работы:  Построить пример развивающейся системы на основе двухсекторной модели экономики.

Математическое  описание:

Рассмотрим следующую  макроэкономическую двухсекторную  модель

   (1)

 

Модель описывает двухсекторную  экономику, производящую новый капитал x и предметы потребления f. Оба сектора производства используют рабочий ресурс L. Ядра и - определенные производительности в соответствующих секторах. Новые инвестиции x(t) измеряются  в единицах труда L как число рабочих на новых машинах, установленных за год t. Новые машины назначаются одному из двух секторов во время их приобретения. Таким образом, капитал имеет один срок ввода, его структура фиксируется, после того как сделаны инвестиции. Тогда s(t) – коэффициент отчислений, а y(t)- дата списания устаревшего капитала (время, прошедшее с момента ввода в эксплуатацию старейшего оборудования). Производительности  и возрастают по τ, т.к. учитывается научно-технический прогресс. Зависимость и от текущей переменной t позволяет учитывать также износ капитала, автономный прогресс и колебания внешних рыночных цен. Естественно также предположить, что y(t) – неубывающая функция (списанные мощности никогда не используются вновь).

В работе предлагается численный метод определения x(t) и y(t) данной системы при известных , , s(t), f(t) и L(t). Будем рассматривать, таким образом, систему интегральных уравнений вида

                                            (2)

где функции  , , . .

Для построения приближенного  решения системы (2) разобьем весь интервал планирования на  N частей

Решение будем  искать в виде кусочно-постоянной функции  и кусочно-линейной .

 

 

Модельная задача:

                       (3)                                  

 

Точным  решением системы (3) являются функции и .

 

 

 

Листинг программы.

program ekonom;

uses crt;

const

     t0=3;

     tn=5;

      n=15;

var i,j,k,v:integer;

    t:array [0..n] of real;

       x,y,xp,yp:array [0..n] of real;

       sh,sk,mx,my,t2,k2:real;

 

function H(var p,q:real):real;

     begin

    H:=p*q*q;

end;

 

function yK(var p,q:real):real;

    begin

     yK:=3*q;

end;

 

function A(var tk,tv:real):real;

   begin

    A:=(H(tk,tv)-yK(tk,tv))/yK(tk,tv);

end;

 

function B(var tk,tv:real):real;

     var tk2:real;

    begin

         tk2:=(tk+tv)/2;

          B:=1+(tk-tv)*(yK(tk,tk2)-H(tk,tk2));

end;

 

function xr(var p:real):real;

     begin

     xr:=p;

end;

 

function yr(var p:real):real;

     begin

     yr:=exp(1/4*ln(p*p*p*p-4));

end;

 

function f(var p:real):real;

     begin

     f:=p*p*p-exp(3/4*ln(p*p*p*p-4));

end;

 

begin

clrscr;

for k:=0 to n do

t[k]:=t0+(tn-t0)*k/n;

x[0]:=xr(t[0]);

y[0]:=yr(t[0]);

for k:=1 to n do

begin

      for v:=1 to k do

      begin

     if v=k then

     begin

     x[k]:=f(t[k])*H(t[k],t[k])/yK(t[k],t[k]);

     y[k]:=t[k]-1/H(t[k],t[k]);

      if (t[v-1]<y[k]) and (y[k]<t[v]) then

begin

      xp[k]:=abs(xr(t[k])-x[k]);

      yp[k]:=abs(yr(t[k])-y[k]);

      break;

    end;

end;

   if v<k then

    begin

     sh:=0;

     sk:=0;

     for j:=v to k-2 do

      begin

       k2:=(t[j]+t[j+1])/2;

       sh:=sh+H(t[k],k2)*x[j+1];

       sk:=sk+yK(t[k],k2)*x[j+1];

      end;

 t2:=(t[k]+t[v-1])/2;

  x[k]:=(sh+(1+A(t[k],t[v]))*(f(t[k])-sk))/(B(t[k],t[k-1])+A(t[k],t[v])*yK(t[k],t2));

   y[k]:=t[v]+(sk-F(t[k])+(t[k]-t[k-1])*yK(t[k],t2)*x[k])/(x[v]*yK(t[k],t[v]));

     if (t[v-1]<y[k]) and (y[k]<t[v]) then

      begin

       xp[k]:=abs(xr(t[k])-x[k]);

       yp[k]:=abs(yr(t[k])-y[k]);

       break;

      end;

     end;

    end;

   end;

  mx:=xp[1];

  my:=yp[1];

  for i:=1 to k do

   begin

    if xp[k]>mx then

     mx:=xp[k];

    if yp[k]>my then

     my:=yp[k];

   end;

  writeln(‘max-ya pogreshnost’ x ‘,mx);

  writeln(‘max-ya pogreshnost’ y ‘,my);

  readkey;

  end.

 

Таблица результатов.

На  отрезке [2,7]:

N	εx	εy
10	3.34496224022587E-0002	2.61559938371647E-0003
50	1.45873878500424E-0003	1.82317307917401Е-0006
100	1.45873878500424Е-0003	1.82317307987401Е-0006
200	1.45873878500424Е-0003	1.82317307917401Е-0006
300	1.45873878500424Е-0003	1.82317307917401Е-0006
400	1.45873878500424Е-0003	1.82317307917401Е-0006
500	1.45873878500424Е-0003	1.82317307917401Е-0006

 

 

Вывод.

    В  ходе лабораторной работы мы  реализовали программу решения  системы нелинейных интегральных  уравнений двухсекторной модели экономики. На основании результатов таблицы, можно сделать вывод, что при увеличении числа разбиений (т.е. значения N) максимальные погрешности в обоих случаях  стабилизируются.