Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

Матрица объемов перевозок имеет следующий  вид:

.

Значение  целевой ячейки L_min = 1010 ден.ед.

Полученный оптимальный план является невырожденным, т.к. число загруженных клеток 7 = 5 + 3 - 1.

Транспортная задача имеет единственное решение, если среди оценок свободных  клеток нет нулевых.

Оценки всех свободных клеток вычисляются по формуле

Δ_ij = p_i + q_j – c_ij.

Составим  систему для нахождения потенциалов p_i и q_j, учитывая, что для базисных (выделенных) клеток   p_i + q_j = c_ij, где i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5.

Значения  потенциалов занесены в таблицу.

1	2-	3-	1	4-	P1=0
6-	3	4	5	2	P2=4
8-	2-	1	9-	3-	P3=1
Q1=1	Q2=-1	Q3=0	Q4=1	Q5=-2

 

Знак  оценки проставлен в свободных клетках  рядом с тарифом. Среди оценок свободных клеток нет нулевых, следовательно, полученный оптимальный план единственный.

 

 

Задача 5

Заданы три временных ряда: первый из них представляет ВНП (млрд $) за 10 лет у_t, второй и третий ряд – потребление (млрд $) х_1t  и инвестиции(млрд $) х_2t.

Требуется:

1. Вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализировать тесноту связи между показателями.
2. Построить линейную и нелинейную модели регрессии, описывающие зависимость у_t от факторов х_1t и х_2t
3. Оценить качество моделей. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.
4. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (β-коэффициент) и оценить их значимость, найти доверительный интервал.
5. Проверить остатки на нормальность распределения.
6. Определить точечные прогнозные оценки ВНП для 5 наблюдений (объясняющие переменные задать самостоятельно).

	Номер наблюдения (t=1,2,…,10)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	41	46	49	48	65	55	61	59	65	57
X1	29	33	32	36	39	43	45	41	46	49
X2	27	23	30	29	33	30	24	33	35	36

 

Решение

Рассмотрим  решение этой задачи с помощью  системы Excel. Найдем коэффициент корреляции между переменными X1, Х2 и Y, введем данные в таблицу Excel и вызовем пакет Анализ данных, где выберем режим Корреляция.

	Y	X1	X2
Y	1
X1	0,791736	1
X2	0,549625	0,531933	1

 

Получили: коэффициенты частной корреляции R_yx1 = 0.7917, R_yx2 = 0.5496 коэффициент парной корреляции R_x1x2 = 0,5319. Так как ≈0,8, то между результативным фактором и фактором X₁ существует тесная линейная связь, далее > 0.5, и > 0., следовательно, между результативным фактором и фактором Х₂, а также между факторными признаками умеренная связь.

Далее в  пакете Анализ данных выберем режим  Регрессия. Выберем также вывод остатков и зададим вывод результатов на том же листе.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,806142
R-квадрат	0,649864
Нормированный R-квадрат	0,549825
Стандартная ошибка	5,552653
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	400,5763	200,2882	6,496123	0,0254
Остаток	7	215,8237	30,83195
Итого	9	616,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	10,42628	13,68901	0,761654	0,471144	-21,9431	42,79564
X1	0,866586	0,328648	2,636823	0,033578	0,089457	1,643714
X2	0,33723	0,49711	0,678381	0,519319	-0,83825	1,512707

 

Таким образом, модель линейной регрессии  имеет вид:

В модели коэффициент детерминации равен R² = 0,65, т.е. на 65% модель объясняет зависимость между переменными. Модель линейной регрессии является значимой, так как расчетное значение F-статистики F_набл = 6,5, что больше табличного, равного F_таб=3,6365 (для нахождения табличного значения использовали функцию FРАСПОБР(0,05;10;7)).

Оценим  значимость регрессионных коэффициентов  – t-статистики по модулю не превышают t(таб) = t_кр ( , n-m-1) = 2,36 (для нахождения табличного значения использовали функцию СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7)) для всех коэффициентов, кроме β₁. Получаем, что связь между результативным и факторным показателем Х₁ является надежной, а величина коэффициента регрессии – значимой. Про коэффициент уравнения регрессии b₂ нельзя сказать, что он является значимым, но поскольку по F-статистике модель в целом является адекватной, то фактор Х₂ можно оставить в модели.

Стандартная ошибка модели SE равна 5,55, стандартные ошибки коэффициентов равны SE(β₀)=13,7, SE(β₁)=0,33, и SE(β₂)=0,5. Доверительные интервалы коэффициентов (с уровнем доверительной вероятности 0,95) равны (-21,9; 42,8) для β₀, (0,09; 1,6) для β₁ и (-0,8; 1,5) для β₂.

Среднюю ошибку аппроксимации найдем по формуле

Найдем теоретические значения прибыли и значения остатков.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	модуль
1	44,66248	-3,66248	3,662476
2	46,7799	-0,7799	0,779901
3	48,27392	0,726077	0,726077
4	51,40304	-3,40304	3,403037
5	55,35171	9,648286	9,648286
6	57,80637	-2,80637	2,806368
7	57,51616	3,483839	3,483839
8	57,08489	1,915115	1,915115
9	62,09227	2,907726	2,907726
10	65,02926	-8,02926	8,029261

Просуммируем  их модули и получим следующее  значение средней ошибки аппроксимации:

Модель  считается подобранной удачно, если средняя ошибка аппроксимации находится в пределах 5-7%.

Проанализируем  по модели влияние факторов на зависимую  переменную: для каждого коэффициента регрессии вычислим β-коэффициент.

β-коэффициент вычисляется по формуле

Средние квадратические отклонения исходных данных найдем в Excel с помощью функции СТАНДОТКЛ, получим

Тогда для β-коэффициентов получаем:

 

Проверим остатки на нормальность распределения графическим способом. Число интервалов равно 4, размах варьирования 9,64 – (-8,03) = 17,67, длина интервала 4,42. Получаем следующие интервалы:

№	Интервал	Частота
1	[-8,03; -3,61)	2
2	[-3,61; 0,81)	4
3	[0,81; 5,23)	3
4	[5,23; 9,65]	1

Строим гистограмму:

Гистограмма симметричная, значит, остатки  подчиняются нормальному распределению.

Прогнозные значения Y находятся путем ввода формулы в таблицу Excel для следующих прогнозных значений Х1 и Х2.

прогноз
Y	X1	X2
66,23308	50	37
67,43689	51	38
68,64071	52	39
69,84452	53	40
71,04834	54	41

Построим теперь модель нелинейной регрессии путем ее сведения к линейной.

Делается  замена переменных: V= Ln(Y), Z=Ln(X), β₀=Ln(a) и строится линейная регрессия:

V= β₀+ β₁Z₁ + β₂Z₂

Откуда  нелинейная регрессия будет иметь  вид:

Y=Exp(β₀)X₁ ^β1 X₂ ^β2.

Прологарифмируем  значения признаков

lnY	lnX1	lnX2
3,713572	3,367296	3,295837
3,828641	3,496508	3,135494
3,89182	3,465736	3,401197
3,871201	3,583519	3,367296
4,174387	3,663562	3,496508
4,007333	3,7612	3,401197
4,110874	3,806662	3,178054
4,077537	3,713572	3,496508
4,174387	3,828641	3,555348
4,043051	3,89182	3,583519

 

Найдем коэффициент корреляции между переменными lnX1, lnX2 и lnY.

	lnY	lnX1	lnX2
lnY	1
lnX1	0,832167	1
lnX2	0,530259	0,495316	1

Как и для линейной регрессии, получаем, что между результативным и факторными признаками, а также между факторными признаками также очень тесная связь.

Далее в пакете Анализ данных выберем  режим Регрессия и получим следующие результаты.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,843194
R-квадрат	0,710975
Нормированный R-квадрат	0,628397
Стандартная ошибка	0,095217
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	0,156117	0,078059	8,609698	0,01298
Остаток	7	0,063465	0,009066
Итого	9	0,219582
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	0,965759	0,797945	1,210309	0,265438	-0,92108	2,852598
lnX1	0,677117	0,209869	3,226377	0,014524	0,180855	1,173378
lnX2	0,161225	0,241031	0,668897	0,524999	-0,40872	0,731172