Контрольная работа по "Эконометрике"

3) Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x. Для обнаружения гомоскедастичности применим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Оценим значимость коэффициента корреляции Спирмена с помощью   t-критерия Стьюдента:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена
ρ(x)	ρ(e)	ρ(x)-ρ(e)	(ρ(x)-ρ(e))^2
6	10	4	16
3,5	7	-3,5	12,25
1,5	6	-4,5	0,25
5	4	1	1
10	2	8	64
1,5	1	0,5	0,25
8	3	5	25
7	5	2	4
3,5	8	-4,5	20,25
9	9	0	0
Сумма		8	163
Коэфф. Спирмена		0,012
t-статистика		0,034
t крит 0,05		2,3

Т.к. t-статистика<tкрит, следовательно гипотеза о наличии  гомоскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается. Связь  значима.

 

4) Независимость остатков проверяется  с помощью критерия Дарбина  – Уотсона. Для расчета используем данные таблицы 2 граф 6 и 7:

         

dw=61,76/76,9669=0,802

Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составляют  d ₁ = 0,95 и d₂=1,23.

Расчетный показатель попадает в область 0<d<d1, значит, уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

 

5) Нормальность распределения остаточной компоненты определяется по R/S-критерию. Рассчитаем значение RS:               

RS = (ε_max - ε_min)/ S,

где ε_min - минимальное значение уровней ряда остатков; ε_max  - максимальное значение уровней ряда остатков; S - среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6

εmax	6,3025
εmin	-3,6115
εmax - εmin	9,914
S	2,924
RS	3,39

Для n=10 и α=0,05 критический интервал (2,67;3,57) полученный критерий RS принадлежит критическому интервалу, следовательно, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

 

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

         

, где S_e² – стандартная ошибка модели. Стандартная ошибка модели рассчитывается по формуле:                                     

S_ε² = 76,9669/8 = 9,6209

S_α = √9,6209*13093/10*490,5 = 5,0677

S_β = √9,6209/490,5 = 0,14

t_{α – расч} = 12,5755/5,0677 = 2,4815

t_{β – расч} = 1,319/0,14 = 9,421

Сравним расчетные значения сравниваются с табличными t_табл. Так как t_a-расч = 2,4815 > t_табл. = 2,3    и   t_b-расч 9,421> t_табл. = 2,3, то параметры уравнения регрессии a и b являются значимыми.

 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по формуле 

r_Y,X = 647/ √456361,2 = 0,958

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R² = r²_Y,X = 0,918

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 91,8 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера:

F = 0,918*8/(1-0,918) = 89,561

F = 89,561 > F_табл.= 5,318 для α=0,05;  k₁=m=1;    k₂=n-m-1=8

Уравнение      регрессии       с вероятностью 0,95    в целом   статистически    значимое, т. к. F  >  F_табл.

Определим среднюю относительную ошибку:

1/10*0,3649*100% = 3,65%

В среднем расчетные  значения Y для линейной модели отличаются от фактических значений на 3,65%.

Вывод. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

 

6. Осуществив прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения =0,8*46=36,8  составит

= 12,5755 + 1,319 *36,8 = 61,1147

Интервальный прогноз:

     

t_кр(0,1;8)=1,8595 для 10 - 2 = 8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,8595.

61,1147-6,1103 ≤ y ≤ 61,1147+6,1103

55,0044 ≤ y ≤ 67,225

 

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Рис.4 График фактических и модельных значений Y, точки прогноза

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики  построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

1) Уравнение гиперболической  функции:  = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.

 

 

 

 

 

Таблица 7

Наблюдение	y		х			Е		(y - )2	( )2	*100%
1	69	64,13607	38	0,02631579	1,81578947	4,86391	0,000693	23,65778	92,16	7,049169
2	52	49,38974	28	0,03571429	1,85714286	2,61023	0,001276	6,813465	54,76	5,019734
3	46	47,31433	27	0,03703704	1,7037037	-1,31437	0,001372	1,727459	179,56	2,85724
4	63	63,02013	37	0,02702703	1,7027027	-0,02015	0,00073	0,000405	12,96	0,03196
5	73	71,3169	46	0,02173913	1,58695652	1,68310	0,000473	2,832836	184,96	2,305621
6	48	47,31433	27	0,03703704	1,77777778	0,68563	0,001372	0,470145	129,96	1,428482
7	67	67,15727	41	0,02439024	1,63414634	-0,15728	0,000595	0,024735	57,76	0,23474
8	62	65,19478	39	0,02564103	1,58974359	-3,19480	0,000657	10,20665	6,76	5,15288
9	47	49,38974	28	0,03571429	1,67857143	-2,38977	0,001276	5,71085	153,76	5,08455
10	67	69,76649	44	0,02272727	1,52272727	-2,76650	0,000517	7,653477	57,76	4,12909
Сумма	594		355	0,29334313	16,8692617		0,008959	59,0978	930,4	33,29347
Среднее значение	59,4		35,5	0,0293343	1,6869262		0,000896		93,04

 

Рассчитаем  параметры  уравнения по данным таблицы 6.

b = (1,6869262 - 59,4 * 0,0293343)/( 0,000896 - 0,0293343²) = -1569,01

а = =59,4+1569,01*0,0293343 = 105,42581

Получим  следующее  уравнение гиперболической модели:

= 105,42581 - 1569,01/х.

Определим индекс корреляции:

ρ_YX = √1-59,0978/930,4 = 0,96772

Связь между показателем у и фактором х сильная.

Коэффициент детерминации равен  0,936481

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 93,65% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности:

Э_yx = -b / (a*x_ср + b) =1569,01/(105,42581*35,5-1569,01 = 0,72153

Это означает, что при  увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,72 %.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные  значения ŷ для гиперболической  модели отличаются от фактических значений на 3,33%.

Рис.5 Гиперболическая модель регрессии

2) Уравнение степенной модели  имеет вид:  =а₀∙х^а1. Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg =lgА+х*lgВ.

Обозначим Y = lg , x = lg X, А = lg А. Тогда уравнение примет вид: Y=А+b*Х– линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя  данные таблицы 7:

 

 

Таблица 7

 

Наблюдение	у		Y	x		Е		2		YX	( )2
1	69	62,6939	1,838849	38	1,579784	6,13287	2,495716	37,61209	8,89	2,904984	92,16
2	52	49,1229	1,716003	28	1,447158	2,75485	2,094266	7,589199	5,30	2,483328	54,76
3	46	47,71638	1,662758	27	1,431364	-1,83358	2,048802	3,362016	3,99	2,380011	179,56
4	63	61,37248	1,799341	37	1,568202	1,45941	2,459257	2,129878	2,32	2,821729	12,96
5	73	73,03063	1,863323	46	1,662758	-0,24496	2,764764	0,060005	0,34	3,098255	184,96
6	48	47,71638	1,681241	27	1,431364	0,16642	2,048802	0,027696	0,35	2,406468	129,96
7	67	66,61712	1,826075	41	1,612784	0,19426	2,601072	0,037737	0,29	2,945064	57,76
8	62	64,00833	1,792392	39	1,591065	-2,18669	2,531487	4,781613	3,53	2,851811	6,76
9	47	49,1229	1,672098	28	1,447158	-2,24515	2,094266	5,040699	4,78	2,41979	153,76
10	67	70,48296	1,826075	44	1,643453	-3,68699	2,700937	13,5939	5,50	3,001068	57,76
Сумма	594		17,67815	355	15,41509		237,6249	74,23483	35,27	272,5103	930,4
Ср. знач.	59,4		1,767815	35,5	1,541509		2,376249	7,423483		2,725103