Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

по  дисциплине  «Эконометрика»

на  тему: «Вариант 3»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 Тула 2011 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;  степенной; показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет  вид: = а + b * x. Для вычисления параметров а и b линейной модели построим таблицу 1:

Таблица 1

Наблю дение	Объем выпуска продукции, млн руб., Y	Объем капиталовложений, млн руб., X	(yi- )	(xi- )	(xi- )2	(yi- )* (xi- )	yx	X2
1	69	38	9,6	2,5	6,25	24,00	2622	1444
2	52	28	-7,4	-7,5	56,25	55,50	1456	784
3	46	27	-13,4	-8,5	72,25	113,90	1242	729
4	63	37	3,6	1,5	2,25	5,40	2331	1369
5	73	46	13,6	10,5	110,25	142,80	3358	2116
6	48	27	-11,4	-8,5	72,25	96,90	1296	729
7	67	41	7,6	5,5	30,25	41,80	2747	1681
8	62	39	2,6	3,5	12,25	9,10	2418	1521
9	47	28	-12,4	-7,5	56,25	93,00	1316	784
10	67	44	7,6	8,5	72,25	64,60	2948	1936
Сумма	594	355	0	0	490,50	647,00	21734	13093
Среднее	59,4	35,5					2173,4	1309,3

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1:

b = 647 / 490,5 = 1,319

Уравнение линейной регрессии  имеет вид:

= 12,5755 + 1,319 * х

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем  выпускаемой продукции увеличиться  в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует  об эффективности работы предприятия.

 

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки вычисляются  по формуле:

 

Для вычисления остатков построим таблицу:

Таблица 2

Наблю дение	Y	X		Остатки ε	ε2	(εi- εi-1)2
1	69	38	62,6975	6,3025	39,7215		0,0914
2	52	28	49,5075	2,4925	6,2126	14,5161	0,0480
3	46	27	48,1885	-2,1885	4,7895	21,9118	-0,0475
4	63	37	61,3785	1,6215	2,6293	14,5161	0,0258
5	73	46	73,2495	-0,2495	0,0623	3,5006	-0,0034
6	48	27	48,1885	-0,1885	0,0355	0,0037	-0,0039
7	67	41	66,6545	0,3455	0,1194	0,2852	0,0052
8	62	39	64,0165	-2,0165	4,0663	5,579	-0,0325
9	47	28	49,5075	-2,5075	6,2876	0,2411	-0,0533
10	67	44	70,6115	-3,6115	13,0429	1,2188	-0,0539
Сумма	594	355			76,9669	61,7724	0,3649

Остаточная сумма квадратов:

  = 76,9669

 

 

 

Дисперсия остатков:

  , 

Рис.1 График остатков

 

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется  на основе анализа остаточной компоненты:

• случайный характер остатков;
• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;
• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ε_i одинакова для всех значений x;
• отсутствие автокорреляции остатков;
• остатки подчиняются нормальному распределению.

1) Для проверки случайного  характера остатков строится  график зависимости остатков ε_i от теоретических значений результативного признака:

Рис.2 График зависимости остатков ε_i от теоретических значений результативного признака

 

На графике получена горизонтальная полоса, значит остатки ε_i представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

Проверку  случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше или меньше соседних с ним элементов. Для этого каждый уровень ряда сравним с двумя соседними.

Таблица 3

Наблюдение	Е(t)	Точ.пов.
1	6,3025
2	2,4925	0
3	-2,1885	1
4	1,6215	1
5	-0,2495	1
6	-0,1885	0
7	0,3455	1
8	-2,0165	0
9	-2,5075	0
10	-3,6115

Общее число  поворотных точек р = 4. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

4 > 2 – неравенство  выполняется, следовательно, свойство  случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

 

2) Нулевая средняя  величина остатков, не зависящая  от x_i.  С этой целью строится график зависимости остатков ε_i от факторов, включенных в регрессию x_i.

Рис.3 График зависимости остатков ε_i от факторов, включенных в регрессию x_i

Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они не зависимы от x_i.

Проверка равенства  математического ожидания уровней  ряда остатков нулю осуществляется в  ходе проверки соответствующей нулевой  гипотезы H_0: . С этой целью строится t-статистика , где _.

t =0 2,3 (α = 0,05; ν=n-2=8) гипотеза принимается.

Таблица 4

t-статистика			0
t крит  0,05			2,3
t
1	6,3025	39,7215
2	2,4925	6,2126
3	-2,1885	4,7895
4	1,6215	2,6293
5	-0,2495	0,0623
6	-0,1885	0,0355
7	0,3455	0,1194
8	-2,0165	4,0663
9	-2,5075	6,2876
10	-3,6115	13,0429
Сумма	0	76,9669
Среднее	0