Гетероскедастичные остатки в линейных моделях

 

Как правило, в экономике и менеджменте, на исследуемый показатель может оказывать  влияние не один фактор, а сразу  несколько.

Модель  множественной линейной регрессии  выглядит следующим образом:

Как и  в случае с парной регрессией, множественная  регрессия может описываться  и линейной, и степенной, и экспоненциальной, и гиперболической функциями.

Исследование  необходимо проводить в следующей  последовательности:

Этап 1.

Определяются  оценки параметров регрессии. Для этого  используется следующая система  уравнений:

Этап 2.

Рассчитываются  коэффициенты с некоторыми независимыми переменными по формулам:

1) коэффициент  частной корреляции между y и x_m при исключении влияния предшествующего x:

,

2) коэффициент  частной корреляции между y и x₁ при исключении влияния x₂:

,

3) коэффициент  частной корреляции между y и x₂ при исключении влияния x₁:

,

4) коэффициент  частной корреляции между всеми  параметрами x при исключении влияния y:

Этап 3.

Проверяется статистическая значимость коэффициентов  корреляции, строится гипотеза о равенстве  нолю.

H₀: r_yxi(x₁x₂…x_m)=0

Таким образом, статистика t рассчитывается следующим образом:

.

Значимость  частного коэффициента корреляции проверяется  по схеме, описанной для парных регрессионных моделей и сравнивается:

, где

t_ε – табличное значение с числом степеней свободы n-(m+1).

Выделяются  следующие пределы значимости параметров модели:

- если /t/≤1, то параметр статистически не значим;

- если 1≤/t/<2, то параметр значим относительно;

- если 3</t/≤3, то параметр значим;

- если /t/>3, то исключать параметр из модели нельзя, так как его значимость высока, а вероятность ошибки не превышает 0,1%.

Этап 4.

После расчёта  всех необходимых коэффициентов  корреляции и вычисления, соответствующих  им t-статистик, составляется матрица парных линейных коэффициентов корреляции:

.

Этап 5.

Проводится  расчёт коэффициента детерминации, который  выглядит следующим образом:

.

Однако  для множественной регрессии  следует применять скорректированный  коэффициент детерминации, который  рассчитывается следующим образом:

.

Этап 6.

Следующим шагом является определение значимости коэффициента детерминации посредством  F статистики Фишера.

Прежде  всего, определяется значимость общего коэффициента детерминации. Для этого  составляется гипотеза:

H₀:β₁=β₂=…=β_m=0.

Используется  соотношение:

,

удовлетворяющее F распределению Фишера с числом степеней свободы n-(m+1), где

n – число переменных в исходной таблице.

m – число объясняющих переменных.

В том  случае, если фактическое значение F критерия меньше табличного, то это даёт основание отклонить нулевую гипотезу H₀.

В противном  случае, нулевая гипотеза отклоняется, принимается альтернативная гипотеза H₁ о статистической значимости.

Если F > F_кр., то коэффициент детерминации статистически значим и это говорит о надёжности самого уравнения регрессии.

Этап 7.

Проверяется выполняемость предпосылок метода наименьших квадратов. Для этой цели используется статистика Дарбина-Уотсона (DW):

.

В определении  статистика Дарбина-Уотсона используются верхний (d_U) и нижний (d_L) пределы уровней значимости.

В зависимости  от параметров статистики DW, выделяются различные решения относительно гипотез, которые представлены на рисунке:

 

 

1. DW<d_L – нулевая гипотеза (H₀) отвергается в пользу гипотезы о положительной автокорреляции остатков.

2. d_L<DW<d_U – гипотеза H₀ не принимается и не отвергается.

3. d_U<DW<2; 2<DW<(4-d_U) – гипотеза H₀ принимается.

4. (4-d_U)<DW<(4-d_L) – гипотеза H₀ не принимается и не отвергается.

5. DW>(4-d_L) – гипотеза H₀ отвергается в пользу гипотезы от отрицательной автокорреляции остатков. В этом случае необходимо провести дополнительные исследования с увеличением объёма статистических данных.

Метод DW применяется для обнаружения автокорреляции первого порядка (ситуация, при которой коррелируются случайные члены регрессии в последовательных наблюдениях).

Причина выявления автокорреляции остатков заключается в том, что если использовать обыкновенный метод наименьших квадратов, то выборочные дисперсии оценок коэффициентов  будут больше, по сравнению с альтернативными  методами оценивания; стандартные ошибки коэффициентов будут оценены  неправильно; прогнозы по полученной модели будут не достоверными.

Этап 8.

В случае если выявлено наличие автокорреляции, её модно устранить. Делается это  посредством следующих методов:

- включение  в модель отсутствующую, но  важную объясняющую переменную;

- изменить  форму зависимости;

- произвести  авторегресионное преобразование.

Авторегресионное преобразование проводится следующим образом. Переменные уравнения x и y заменяются на x^* и y^*, значения которых вычисляются по правилу:

i=2,…,n

.

Поправки  Прайса-Винстена:

Этап 9.

Следует провести анализ на гетероскедастичность. Предпосылкой МНК является условие постоянства случайных отклонений, которую называют гомоскедастичностью. Не должно быть безоговорочной причины, которая вызывала бы большое отклонение при одних наблюдениях и меньшее – при прочих. Невыполнение такой предпосылки называют гетероскедастичностью.

Одним из методов определения наличия  гетероскедастичности является тест ранговой корреляции Спирмена.

.

Доверительная вероятность выглядит следующим  образом:

.

По табличным t определяется граничная точка t_α;n-2.

Статистика  t рассчитывается по уравнению:

.

Если t< t_α;n-2, то на уровне значимости α принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности. В ином случае гипотеза отклоняется.

В модели с несколькими факторами, проверка гипотезы об отсутствии гетероскедастичности проводится с помощью статистики t для каждого из них в отдельности.

 

X	Y	Z
69	107	59
71	107	91
68	78	114
59	82	114
61	80	62
63	91	99
71	111	78
72	141	72
72	102	108
77	108	72
59	112	71
59	102	104
62	121	141
78	123	141
111	124	71
62	125	71
78	106	59
63	113	102
62	111	61
111	112	69
58	113	102
98	114	71
78	116	83
78	117	98
101	117	81
70	118	72
67	121	61
68	123	81
102	120	78
69	118	81
69	121	85
69	121	149
73,59375	111,7188	87,53125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Эконометрический  метод складывался в преодолении  трудностей, искажающих результаты применения классических статистических методов, таких как ложная корреляция, асимметричность  связей, мультиколлинеарность связей, автокорреляции, ложной корреляции, наличия лагов и, наконец, эффект гетероскедастичности.

Как сказано  выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие  от простейших моделей регрессионного анализа, здесь естественным образом  появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)

Гомоскедастичность - это означает, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. - Мн.: БГУ, 2000. - 354 с.
2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2000. - 400 с.
3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред.И. И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 344 с.
4. Эконометрика: учеб. / под ред.И. И. Елисеевой. - М.: Проспект, 2009. - 288 с.
5. Эконометрика: Учебник/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др., Под ред.И. И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576 с.