Модель линейной регрессии

Переменные:

Зависимая: у – цена автомобилей бизнес-класса, тыс. руб.

Независимые:

Х₁ – год выпуска автомобиля

Х₂ – объём багажника, л

Х₃ – тип кузова автомобиля       1, универсал

                                                            0, седан  

Х₄ – коробка переключения передач       1, МКПП

                                                                             0, АКПП

Х₅ – объём двигателя, см³

Х₆ – комплектация автомобиля      1, максимальная комплектация

                                                                  0, не максимальная комплектация

Х₇ – тип привода     1, 4WD

                                     0, задний привод

Х₈ – пробег по России   1, есть пробег

                                              0, нет пробега

Х₉ – техническое состояние автомобиля    1, отличное

                                                                                0, удовлетворительное

Х₁₀ – максимальный расход топлива на 100 км, л

 

 

 

 

1 этап: Оценка взаимосвязей.

Строим матрицу парных коэффициентов корреляции:

			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Y	1	Цена	1,00
х1	2	год выпуска	0,96	1,00
х2	3	объём багажника, л	0,80	0,78	1,00
х3	4	тип кузова а/м	0,81	0,75	0,65	1,00
х4	5	КПП	0,85	0,77	0,63	0,92	1,00
х5	6	объём двигателя,см3	0,93	0,88	0,73	0,73	0,77	1,00
х6	7	комплектация а/м	0,83	0,75	0,66	0,88	0,88	0,70	1,00
х7	8	тип привода	0,83	0,75	0,66	0,88	0,88	0,70	1,00	1,00
х8	9	пробег по России	-0,09	-0,14	-0,21	-0,10	-0,10	0,00	0,03	0,03	1,00
х9	10	техническое состояние а/м	0,85	0,76	0,67	0,92	0,92	0,73	0,96	0,96	0,00	1,00
х10	11	мах расход топлива на 100 км,  л	0,90	0,85	0,74	0,74	0,74	0,85	0,78	0,78	-0,06	0,78	1

 

Цена y (зависимая переменная):

1. Х₁ (r_yх1=0,96) => r_yх1>0,7
2. Х₂ (r_yx2 = 0,80) => r_yx2 >0,7
3. Х₃ (r_yx3 = 0,81) => r_yx3>0,7
4. X₄ (r_yx4 = 0,85) => r_yx4>0,7               - тесная связь
5. X₅ (r_yx5 = 0,93) => r_yx5>0,7
6. X₆ (r_yx6 = 0,83) => r_yx6>0,7
7. X₇ (r_yx7 = 0,83)=> r_yx7> 0,7
8. X₈ (r_yx8 = -0,09)=> r_yx8 <0,5 – слабая связь

 

Вывод: из матрицы видно, что с зависимой переменной (y) тесно связаны переменные: год выпуска автомобиля, объём багажника, тип кузова, КПП, объём двигателя, комплектация а/м, тип привода, техническое состояние а/м и максимальный расход топлива на 100км; такая переменная, как пробег автомобиля по России слабо связана с ценой автомобиля бизнес-класса.

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Строим первую модель, используя все независимые переменные:

Результаты расчётов:

1-я модель (по всем переменным): F = 169,96, R²=0,98

 

Регрессионная статистика
Множественный R			0,99
R-квадрат			0,98
Нормированный R-квадрат			0,97
Стандартная ошибка			33,68
Наблюдения			50
Дисперсионный анализ
		df		SS		MS	F	Значимость F
Регрессия		10		1927891,31		192789,13	169,96	0,00
Остаток		38		43104,32		1134,32
Итого		48		1970995,63
	Коэффициенты			Стандартная ошибка		t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-36918,85			6593,57		-5,60	0,00	-50266,84	-23570,87
х1	18,58			3,30		5,63	0,00	11,89	25,26
х2	0,02			0,06		0,35	0,73	-0,11	0,15
х3	-22,12			27,65		-0,80	0,43	-78,10	33,86
х4	-55,41			24,09		-2,30	0,03	-104,18	-6,64
х5	0,05			0,01		6,92	0,00	0,04	0,07
х6	8,82			28,54		0,31	0,76	-48,95	66,59
х7	17,44			28,35		0,62	0,54	-39,95	74,83
х8	-17,48			11,06		-1,58	0,12	-39,87	4,91
х9	137,18			40,97		3,35	0,00	54,23	220,13
х10	6,06			6,40		0,95	0,35	-6,88	19,01

Полученная на первой итерации модель имеет вид:

 y  = -36918,85 + 18,58x₁ + 0,02x₂ + (-22,12х₃) + (-55,41х₄) + 0,05х₅ + 8,82х₆ +17,44х₇ + (-17,48х₈) + 137,18х₉

                ^{(t = -5,60)       (t=5,63)      (t=0,35)          (t= - 0,80)          (t = -2,30)       (t = 6,92)     (t = 0,31)     (t = 0,62)        (t = -1,58)          (t=3,35)}

  + 6,06х₁₀

     ^{(t = 0,95)}

 

 

• Найдём критическую точку  t_кр. = t (α, n-k) , где уровень значимости α= 1-0,95=0,05, которая зависит от числа степеней свободы, равного (n-k) = 50-11 = 39, где n=50 – число наблюдений, k= 10+1=11 – число оцененных параметров модели (10 независимых переменных (Х_i) и 1 зависимая переменная (у)).

 

 

                                                      t_кр = 2,02

 

 

 

 

 

Оценка значимости коэффициентов  регрессии:

Коэффициент		t-статистика	Сравнение с tкр. = 2,02		Гипотеза Hо: bi= 0	Доверительный интервал	0 принадлежит или нет ДИ	Вывод о значимости
-36918,85		-5,60	>		нет	(-50266,84; -23570,87)	нет	значим
18,58		5,63	>		нет	(11,89; 25,26)	нет	значим
0,02		0,35	<		да	(-0,11; 0,15)	да	не значим
-22,12		- 0,80	<		да	(-78,10; 33,86)	да	не значим
-55,41		-2,30	>		нет	(-104,18; -6,64)	нет	значим
0,05		6,92	>		нет	(0,04; 0,07)	нет	значим
8,82		0,31	<		да	(-48,95; 66,59)	да	не значим
17,44	0,62		<	да		(-39,95; 74,83)	да	не значим
-17,48	-1,58		<	да		(-39,87; 4,91)	да	не значим
137,18	3,35		>	нет		(54,23; 220,13)	нет	значим
6,06	0,95		<	да		(-6,88; 19,01)	да	не значим

           

Вывод: по результатам расчётов мы видим, что всего 5 коэффициентов (4 независимых и 1 зависимый-свободный коэффициент) из 11 считаются статистически значимыми с вероятностью 95%, а остальные 6 являются статистически не значимыми.

 

 

 

Верификация модели:

а) Однофакторный дисперсионный  анализ:

С помощью Критерия Фишера проверим гипотезу: Но: b₁=b₂=….=b₁₀=0 (гипотеза об отсутствии линейной функциональной связи).

• Найдём критическое значение критерия:

Fкр. = F (α; k-1; n-k) = F (0,05; 11-1; 50-11) = F (0,05;10;39) = 2,084

 

 

 

 

Вывод: из полученных расчётов наблюдаемое значение F_о = 169 € d₁, следовательно, гипотеза Н_о отклоняется, принимается гипотеза Н₁,т.е. линейная функциональная связь между ценой автомобиля бизнес-класса и десятью независимыми переменными существует.

 

• Коэффициент детерминации R₂ = 0,98*100% = 98%,это значит, что общая вариация (изменчивость) цены на автомобиль бизнес-класса на 98% объясняется изменчивостью десятью независимых переменных (х_i). Значение коэффициента детерминации очень высокое, что свидетельствует о хорошем качестве подгонки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод по модели:

• Оценивания полученную модель по всем критериям, можно сказать, что её использование для построения прогноза непригодно, т.к. из 11 коэффициентов регрессии 6 являются статистические не значимыми, несмотря на хорошие результаты по F-статистике.
• По данной модели можно сделать вывод, что здесь присутствует эффект мультиколлинеарности факторов: большинство t-статистик по абсолютной величине меньше критического значения при высоком значении F-статистики.
• Также, если изучить значения парных коэффициентов корреляции между независимыми переменными, то мы видим, что тесная связь наблюдается между: годом выпуска автомобиля и объёмом двигателя (r_x1x5 = 0,88) , годом выпуска и максимальной комплектацией автомобиля (r_x1x6 = 0,75), годом выпуска и техническим состоянием автомобиля (r_x1x9 = 0,76); объёмом багажника и типом кузова (r_x2x3 = 0,65), КПП и типом привода(r_x4x7=0,88),КПП и максимальным расходом топлива на 100 км (r_x4x10 = 0,74).

 

 

1. х₁: х₅ (r_x1x5 = 0,88)

r_yx1 = 0,96                         0,96>0,93 => x₅(искл.)               

r_yx5 = 0,93

2. Х₁:х₆ (r_x1x6 = 0,75)

                 r_yx1 = 0,96                       0,96>0,83 =>   х₆(искл.) 

                  r_yx6 = 0,83  

3. Х₁:X₉ (r_x1x9 = 0,76)

r_yx1 = 0,96                           0,96>0,85 =>  x₉(искл.) 

r_yx9= 0,85     

4. Х₂:Х₃ (r_x2x3 = 0,65)

r_yx2= 0,80                      0,80<0,81=> X₂(искл.)

r_yx3=0,81

5. Х_4:Х₇ (r_x4x7=0,88)

r_yx4=0,85                        0,85>0,83 => x₇(искл.)         

r_yx7=0,83

6. Х₄:х₁₀ (r_x4x10 = 0,74)

r_yx4=0,85                      0,85<0,90=> Х₄(искл.)    

                 r_yx10 = 0,90

3) Перейдём к построению второй модели:

Исключим из первой модели следующие переменные: х₂,х₄,х₅,х₆,х₇,х₉ (для устранения эффекта мультиколлинеарности факторов).

2-я модель (исключаем х₂,х₄,х₅,х₆,х₇,х₉): F=175,19 ,R²=0,94

Регрессионная статистика
Множественный R		0,97
R-квадрат		0,94
Нормированный R-квадрат		0,94
Стандартная ошибка		51,44
Наблюдения		50
Дисперсионный анализ
		df	SS	MS		F	Значимость F
Регрессия		4,00	1854552,59	463638,15		175,19	0,00
Остаток		44,00	116443,04	2646,43
Итого		48,00	1970995,63
	Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение	Нижние 95%		Верхние 95%
Y-пересечение	-60496,71		7747,69		-7,81		0,00	-76111,15		-44882,28
х1	30,33		3,88		7,82		0,00	22,52		38,15
х3	64,84		24,54		2,64		0,01	15,38		114,29
х8	10,07		15,33		0,66		0,51	-20,83		40,96
х10	34,22		7,90		4,33		0,00	18,30		50,13