Динамический межотраслевой баланс

 

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами совпадает с x_ij соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы  ΔФ_ij показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

Для сравнения, в статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной  в составе конечной продукции Y_i каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт Y_i   включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса (1,141):

поэтому уравнение распределения  продукции вида (1.2) преобразуется  в динамическом балансе в следующее (11,257):

Межотраслевые потоки текущих  затрат выражают как и в статической  модели через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

    x_ij = a_ijX_j

полагая, что прирост  продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать (11,257):

φ_ij – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-той отрасли должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты φ_ij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

Они образуют квадратную матрицу n-го порядка (13):

Эта матрица коэффициентов  приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.

Далее, с помощью коэффициентов  прямых материальных затрат и коэффициентов  вложений φ_ij систему уравнений (3.1) можно представить в следующем виде (11,257):

Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определён в сравнении с (t-1)-м периодом (11,258):

Отсюда можно записать следующие соотношения:

Пусть нам известны уровни валовой продукции всех отраслей в предыдущем периоде (величины X_i (t - 1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде). Тогда соотношения (3.4) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t-го периода.

Таким образом, решение  динамической системы линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня , достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений φ_ij характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.

Эти более сложные  по своему экономическому содержанию выводы из анализа динамической модели В. Леонтьева были опубликованы в  форме дифференциальных уравнений  в СССР в 1958 г. книге «Исследование  структуры американской экономики».

 

 

 

 

4.Рассмотрим пример применения  динамического межотраслевого баланса :

Задача :

Рассматривается трех отраслевая экономическая система сроком на 3 года. Матрица прямых материальных затрат и матрица фондоемкости в  течении рассматриваемых трех лет  остаются неизменными и имеют следующий вид:

             

В начальный момент   t = 0  валовый внутренний продукт по отраслям составляет   x₁(0) = 106 , x₂(0) = 126, x₃(0)=156. Спрос на конечный продукт по годам задан векторами

            

Указание: использовать модель динамического межотраслевого баланса вида:

x(t)= Ax( t ) + Bx( t ) -  Bx( t-1 ) + C( t )

Решение:

x(t)= Ax( t ) + Bx( t ) -  Bx( t-1 ) + C( t )

- Ax( t ) – Bx( t ) +x( t )= -Bx( t-1 )+ C(t)

(- A – B +E ) x( t )= - Bx( t-1 )+C( t )

x( t )= ( -A – B + E ) ^-1 (-Bx( t – 1)+C( t ))

 

Найдем матрицу  ( -A – B + E ) ^-1  . Все вычисления проведем в Microsoft Office Excel.

(- A – B +E ) =

 

 

( -A – B + E ) ^-1

 Проводим расчет для первого года:   t=1

_{X(1) = ( - A –B +E) ^-1 (C(1) – Bx(0))}

Найдем приросты валового выпуска продукции в первом периоде:

∆𝑥1=𝑥(1)−𝑥0=218.3726199.7053199.4237− 106126156=112.372673.7052543.42369

Найдем межотраслевые  потоки и межотраслевые приросты фондов, используя формулы:

x_ij(t)=a_ij x_j(t)

Δφ_ij(t)=b_ij (t)Δx_j(t)

                                    

 

 

 

 

Производство и распределение  продукции на первый год:

Производящие отрасли	Межотраслевые потоки текущих  затрат			Прирост фондов			Ко неч ный про дукт	Вало вый про дукт
	1	2	3	1	2	3
1							76
2							86
3							96

Положим . Тогда:

Найдем приросты валового выпуска продукции во втором периоде:

Найдем межотраслевые  потоки и межотраслевые приросты фондов, используя формулы:

                  

Производство и распределение  продукции на второй год:

Производящие отрасли	Межотраслевые потоки текущих  затрат			Прирост фондов			Ко неч ный про дукт	Вало вый про дукт
	1	2	3	1	2	3
1							86
2							91
3							106

Положим . Тогда:

Найдем приросты валового выпуска продукции в третьем периоде:

Найдем межотраслевые  потоки и межотраслевые приросты фондов, используя формулы:

                  

Производство и распределение  продукции на третий год:

 

Производящие отрасли	Межотраслевые потоки текущих  затрат			Прирост фондов			Ко неч ный про дукт	Вало вый про дукт
	1	2	3	1	2	3
1							96
2							101
3							116

 

 

5.Недостатки  и достоинства динамического  межотраслевого баланса.

Огромные масштабы использования  метода «затраты - выпуск» требует  оценить все его плюсы и  минусы:

Достоинства метода:

• Позволяет планировать отрасли системно с учетом места и веса каждой отрасли.
• Дает возможность планирования на ряд лет, позволяя найти пути подъема как всей экономики страны, так и отдельных отраслей. (Успехи Леонтьева в Германии и Японии после войны).

Недостатки:

• Опора на матрицу коэффициентов полных затрат приводит к трудоемкому процессу сбора и обработки большого объема статистической информации.
• Процесс производится с периодичностью 5 лет, что не дает полной картины динамики отрасли.
• Нет учета технологических изменений в отраслях за период между сбором информации о матрице затрат.

6. Выводы:

Решение динамической системы  линейных уравнений позволяет определить:

• выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня , достигнутого в предыдущем периоде
• связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений φ_ij , характеризующие фондоемкость единицы прироста продукции

 

7. Список литературы :

1. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. – 199 с.
2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 2004. – 479 с.
3. Самарский А.А. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001. – 320 с.
4. Таха, Хемди А. Введение в исследований операций. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с.
5. Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении. М.: Издательсво «Дело», 2000. – 440 с.