Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Реферат, 11 Апреля 2015, автор: пользователь скрыл имя
Описание работы
Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Среди задач линейной алгебры наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраических уравнений, определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Другие часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, вычисление определителя и т.д.
Файлы: 1 файл
rehcfx.docx
— 318.01 Кб (Скачать файл)A = {aij }i, j = 1…n
B = {bi }x = {xi }
Если эту систему удалось привести к виду x = Cx + D, то можно построить итерационную процедуру
xk = Cxk -1 + D
xk → x*, где х* - решение заданной системы.
В конечном варианте система будет имееть вид:
x1 =c11 x1 +c12 x2 +c13 x3 +…c1n xn +d1
x2 =c21 x1 +c22 x2 +c23 x3 +…c2n xn +d1
x3 =c31 x1 +c32 x2 +c33 x3 +…c1n xn +d3
…………………………………………. .
xn =cn1 x1 +cn2 x2 +cn3 x3 +…cnn xn +dn
Условием сходимости для матрицы С выполняется, если сумма модулей коэффициентов меньше единицы по строкам или по столбцам, т.е.
, или .
Необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.
Для преобразования системы можно выполнить следующие операции:
x1= a11 -1 (c1 -a12 x2 - a13 x3 -… - a1n xn )
x2= a22 -1 (c2 -a21 x2 - a23 x3 -… - a2n xn )
………………………. .
xn= ann -1 (cn -an1 x2 - an3 x3 -… - an-1n xn-1 )
В результате получим систему:
x1= 0+ c12 x2 + c13 x3 -…+ c1 n -1 xn -1 + c1 n xn +d1
x2= c21 x2 +0 +c23 x3 +…+ c2n-1 xn-1 + c2n xn +d2
………………………………………………………. .
xn= cn1 x1 + cn2 x2 +cn3 x3 +…+ cnn-1 xn-1 + 0+dn
В ней на главной диагонали матрицы С находятся нулевые элементы, остальные элементы выражаются по формулам:
сij =-aij /aii , di =ci /aii (i,j=1,2,3…n, i<>j)
Итерационный процесс продолжается до
тех пор, пока значения х1 ( k ), х2 ( k ), х3 ( k ) не станут
близкими с заданной погрешностью к значениям
х1 ( k -1), х2 ( k -1), х3 ( k -1).
2.2.2 Решение СЛАУ методом простых итераций
Решить СЛАУ методом простых итераций с точностью .
Для удобства преобразуем систему к виду:
Условие сходимости:
,
Принимаем приближение на 0-ом шаге:
,
,
На 1-м шаге выполняем следующее:
Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
На 2-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 3-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 4-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 5-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
На 6-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
Необходимая точность достигнута на 6-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить [14].