Эффект Холла в металлах и полупроводниках

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение………………………………………………………………………......3

1    Эффект Холла с точки зрения электронной теории......................................4

2. Параметры эффекта Холла……………………………………………..........6
3. Эффект Холла в металлах…………………………………………..…..........9
4. Эффект Холла в полупроводниках…………………………………………12

Заключение…………………………………………….…………………………15

Список использованных источников……………………………………..........16

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное)………………………………………………..18

ПРИЛОЖЕНИЕ Б  (справочное)………………………………………………..19

ПРИЛОЖЕНИЕ В (справочное)………………………………………………..20

ПРИЛОЖЕНИЕ Г  (справочное)………………………………………………..21

ПРИЛОЖЕНИЕ Д (справочное). Первоначальный вариант содержания и списка используемой литературы………………………………………………22

ПРИЛОЖЕНИЕ Е (справочное). Первоначальный вариант пояснительной записки …………………………………………………………………………...23

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж (обязательное). Ведомость документов курсовой

работы…………………………………………………………………….............24

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Эффектом Холла называют явление, состоящее в том, что  под действием магнитного поля, перпендикулярного  протекающему току в прямоугольном  образце, носители заряда отклоняются  в направлении, перпендикулярном и  току и магнитному полю. В результате чего в указанном направлении  возникает разность потенциалов, что  свидетельствует о появлении  поперечного электрического поля в  образце.

Эффект Холла можно  рассматривать как  в адиабатических условиях, когда образец не обменивается энергией с окружающей средой и в  нём возникает градиент температур, так и в изотермических, когда  происходит обмен энергией с окружающей средой и, следовательно, ∆Т = 0. В курсовой работе будет рассмотрен только изотермический эффект Холла.

Целью данной курсовой работы является изучение указанного эффекта  в металлах и полупроводниках, а  также анализ зависимости эффекта  Холла от ряда внешних факторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ЭФФЕКТ ХОЛЛА  С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ  ТЕОРИИ

 

Природа гальваномагнитных  эффектов, в частности Эффекта  Холла, связана с влиянием магнитного поля на траектории движения носителей  заряда (электронов проводимости или  дырок).

 

Рисунок 1 – Схема эксперимента Холла

Рассмотрим образец прямоугольной формы, по которому течёт электрический ток плотностью j, помещённый в магнитное поле В, направленное перпендикулярно вектору j (рис.1). Пусть носителями заряда являются электроны. Электрическое поле ускоряет электрон, и он приобретает дрейфовую скорость:

,  (1)

где - подвижность электронов.

На движущуюся с этой скоростью  частицу действует сила Лоренца:

 = e[В·], (2)

направленная перпендикулярно векторам и В.

В данном случае эффект Холла  объясняется взаимодействием носителей  заряда с магнитным полем. В магнитном  поле на электроны действует указанная выше сила Лоренца. Под действием этой силы частицы отклоняются в направлении, перпендикулярном j и В. В результате на боковой грани с электродом D происходит накопление отрицательного заряда, а на противоположной грани – накопление нескомпенсированного положительного заряда, вследствие чего возникает разность потенциалов (э.д.с. Холла), а вместе с ним и поперечное электрическое поле , которое носит название поля Холла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ПАРАМЕТРЫ ЭФФЕКТА  ХОЛЛА

 

Рисунок 2 – Отклонение носителей заряда под действием магнитного поля в образцах с дырочной (а) и электронной (б) проводимостью

После того, как на боковых гранях образца возникнет разность потенциалов и поперечное электрическое поле , оно (поле) будет расти до тех пор, пока сила, обусловленная этим полем, не скомпенсирует силу Лоренца, т.е. при условии

eВ −e= 0.  (3) 

Отсюда легко найти  разность потенциалов  между боковыми гранями. Если ширина образца равна a, то

= = Вa. (4)

Находя из выражения для плотности тока

j = e·n·, (5)

где n – концентрация носителей заряда, и подставляя в соотношение (4), получаем

= = ·j·Ba. (6)

Как видно из формулы (6), прямо пропорциональна плотности тока и величине магнитного поля. Коэффициент пропорциональности называется постоянной Холла и для случая электронов он равен:

= .                                               (7)

Если носителями заряда являются дырки, концентрация которых равна р, то

                          = .                                                  (8)

Таким образом, постоянная Холла  обратно пропорциональна концентрации носителей заряда, а знак её совпадает  со знаком носителей заряда.

Рисунок 3 – Появление  угла Холла φ

Рассмотрим теперь влияние  двух электрических полей  и на траекторию движения носителей заряда. Вектор суммарного электрического поля + как видно из рис.3, повёрнут на некоторый угол φ относительно направления  тока  j. Угол, заключённый между и j, носит название угла Холла. Его можно определить из соотношения:

                                        tg = .                                                       (9)

Выражение (7) для классической постоянной Холла получено в предположении, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами – считалась вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учёте их распределения по энергии обычно выполняется с помощью кинетического уравнения Больцмана. В общем случае определяется следующим выражением:

                           (10)

Сомножитель называется холл-фактор и учитывает разные механизмы рассеяния носителей заряда. При рассеянии на фононах . В случае вырожденных полупроводников и металлов , а при преимущественном рассеянии на ионах примеси .

В общем виде холл-фактор определяется по формуле:

(11)

где - среднее время релаксации;

      - средний квадрат времени релаксации.

Так как электропроводность, обусловленная электронами или  дырками, выражается одинаковыми формулами:

                             = ne, = pe                                     (12)

В этом случае вместо (7) и (8) можно записать общее выражение

                                                (13)

Это равенство является точным, если . В общем случае

                                 (14)

Эту величину холловской подвижностью.

 

 

 

 

 

3 ЭФФЕКТ ХОЛЛА В МЕТАЛЛАХ

Таблица 1 – Постоянные Холла для некоторых металлов

В табл.1 приведены результаты экспериментального определения постоянной Холла для ряда чистых металлов. Из данных таблицы видно, что у большинства металлов колеблется от до и, как показало исследование, сильно зависит от содержания в них примесей. Аномально высокое значение постоянной Холла имеют элементы 5-й группы таблицы Менделеева – Bi, Sb и As. У висмута, например, почти в раз больше, чем у меди. У ряда металлов (Na, Cs, Cu, Ag и др.) коэффициент Холла имеет отрицательный знак, а у других металлов (Be, Cd, Zn и др.) – положительный.

Согласно зонной теории твёрдых тел, если зона проводимости металла укомплектована менее, чем наполовину, то электроны такой зоны ведут себя нормально, как частицы, обладающие положительной эффективной массой и отрицательным зарядом. Знак постоянной Холла у таких металлов будет, очевидно, отрицательным (нормальный эффект Холла). К таким металлам относятся, например, элементы 1-й группы таблицы Менделеева. Если же зона проводимости металла укомплектована почти полностью, то остающиеся в ней незаполненные уровни – дырки ведут себя как частицы, обладающие положительной эффективной массой и положительным зарядом. Такие металлы имеют дырочную проводимость, вследствие чего знак постоянной Холла у них положительный (аномальный эффект Холла). К таким металлам относятся − Be, Cd, Zn.

Аномально высокая постоянная Холла у висмута объясняется низкой концентрацией электронов вне почти заполненных зон (Приложение Б).

Ниже приведены значения постоянных Холла щелочных металлов при комнатной температуре и его изменение при плавлении () [17].

 

 

Таблица 2 - Постоянные Холла щелочных металлов при комнатной температуре и его изменение при плавлении ()

  

В двухзонной модели постоянная Холла [17] имеет вид

                            (15)

где и – вклады в проводимости от первой и второй зон;

      ; – соответственно эффективные массы носителей заряда в зонах и времена релаксации в них.

Особый интерес представляет изучение эффекта Холла в ферромагнитных металлов и сплавах, в которых он имеет ряд особенностей, связанных с существованием упорядоченной системой спинов: зависимость от намагниченности, необычайно большая величина эффекта, сильная температурная зависимость. Наличие указанных особенностей связано с тем, что в ферромагнетиках в эффекте Холла проявляют себя одновременно электроны, участвующие в электропроводности и ответственные за магнитные свойства вещества.

Если в немагнитных  материалах эффект Холла возникает  только во внешнем магнитном поле, то в ферромагнетиках он существует и в отсутствии поля. Это явление  носит название спонтанного эффекта  Холла и объясняется оно действием поля магнитных доменов.

Среднее поле, действующее  на электрон в среде, равно магнитной  индукции В

В = Н + 4πJ, (16)

где Н – вектор напряжённости магнитного поля;

      J – вектор намагниченности.

Ту часть холловского потенциала, которая пропорциональна индукции В, в магнетиках принято называть нормальным эффектом Холла. На первый взгляд может показаться, что всё отличие зависимости эффекта Холла от поля в ферромагнетиках заключается в том, что в выражении для силы Лоренца вектор напряжённости магнитного поля Н заменяется вектором индукции В. Однако экспериментальные данные показывают, что зависимость поля Холла, отнесённого к единичной плотности тока, от величины магнитной индукции В должна быть представлена более общей формулой

= В + J, (17)

где – нормальный коэффициент Холла;

      – аномальный коэффициент Холла.

Физическая природа нечётного  аномального эффекта Холла в  ферромагнитных металлах связана с влиянием спин-орбитального взаимодействия на рассеяние электронов проводимости на любых нарушениях периодичности решётки (примеси ). В общем случае спонтанный коэффициент Холла можно записать в виде такой суммы:

= (18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ЭФФЕКТ ХОЛЛА  В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

 

Рисунок 4 – Возникновение  поля Холла в электронном и  дырочном полупроводниках

 

Подробно останавливаться  на рассмотрении эффекта Холла в  полупроводниках n-типа и полупроводниках р-типа нет смысла, так как механизмы возникновения эффекта Холла в них и металлах с электронной и дырочной проводимостью аналогичны (рис.4); аналогичны и параметры эффекта Холла, рассмотренные в разделе 2. Следовательно, для полупроводника n-типа можно записать

                                  (19)

где – холл-фактор для электронов.

А для полупроводника р-типа запишем

,                                        (20)

где − холл-фактор для дырок.

Следует обратить внимание на то, что концентрация носителей  заряда в полупроводниках, как положительных, так и отрицательных, сильно зависит от температуры. Следовательно, и постоянная Холла зависит от температуры. Своеобразной зависимостью постоянной Холла от температуры обладают полупроводники с дырочной примесной проводимостью. При повышении температуры таких полупроводников до величины, при которой начинается переход в зону проводимости электронов собственных атомов полупроводника, постоянная Холла снижается до нуля и затем резко увеличивается.

Теперь рассмотрим эффект Холла для полупроводников с  двумя типами носителей заряда.

 В результате расчётов, произведённых в источнике [1], получено следующее выражение

= ,                              (21)

где ;

     

     

;

 

 

 

 

Если проводник имеет  смешанную проводимость, то, полагая ; (), можем записать

= = .                (22)

Предположив, что получим

(23)

Рассмотрим три частных  случая:

- дырочный полупроводник:

= 0; R = ; >;